《时间复杂度的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《时间复杂度的计算（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、时间复杂度计算学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上 就要找工作了，赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费， 它是该算法所求解问题规模 n 的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的 数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时， 往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的f(n) 般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素
2、的取值相关。但是我们总是 考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线 性对数阶O (nlog2n)、平方阶O (n2)、立方阶O (n3)、k次方阶O (nk)、指数阶O (2n)。1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n)来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch(i nt a,cons tintn ,cons tintx)inti=O;for(;ai!=x∈i+);if(i=n)return-1;elsereturni; 这个程
3、序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。 在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，在第n个元素找到 需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比 较次数为: f(n)=1/n(n+(n-1)+(n-2)+.+1)=(n+1)/2=O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代 价。对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法(注意，这里用的是“一般提法”)是：当且仅当 存在正整数c和nO,使得T(n)=n0都成立。则称
4、该算法的渐进时间复杂度为 T(n)=O(f(n)。这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f (n) = (n+l)/2，那么 c*f(n)也就是一个一次函数。就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面，就是复杂度为 T(n)=O(f(n)。对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。规则1) 加法规则T(n,m)=T1(n)+T2(n)=O(max(f(n),g(m)2) 乘法规则T(n,m)=T1(n) *T2(m)=O(f(n) *g(m)3) 一个特例在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n)=O?, c是一个与n无关的任意常数，T2(n)=O(f(n)
5、则有T(n)=T1(n)*T2(n)=O(c*f(n)=O(f(n).也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。4) 一个经验规则有如下复杂度关系精心整理clog2Nnn*Log2Nn“2n“32n3“nn!其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c、log2N、n、n*log2N,那么这个算法时间效率比较 高，如果是2b,3b,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人 意.1) 基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复 杂度是O(n2)?(我用2表示平方，同理3表示立方)；2) 二维矩阵
6、的标准差，残差，信息熵，fft2,dwt2,dct2的时间复杂度:标准差和残差可能O(n), FFT2是O(nlog(n)，DWT2可能也是O(nlog(n)；信息熵要求概率，而dct的过程和jpeg 一样。 因为和jpeg 一样，对二难矩阵处理了.Y=T*X*T，Z=Y. *Mask,这样子，还有分成8*8子图像了 ；3) example：1、设三个函数 f,g,h 分别为 f (n)=100n3+n2+1000,g(n)=25n3+5000n2,h(n)二n1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：(1) f(n)=O(g(n)(2) g(n)=O(f(n)(3) h(n)=O(n1
7、.5)(4) h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)，这里的0是数学符号，它的严格定义 是若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C和n0, 使得当n三nO时都满足OWT(n)WC?f(n)。用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋 向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。 (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n3，因此当n-g时，两个函数的比值是一个常数, 所以这个关系式是成立的。 (2)成立。与上同理。(3)成立。与上同理。 (4)不成立。由于当n-g
8、时n1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故 不成立。2、设n为正整数，利用大0记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。(1) i=1；k=0while(i1while(x=(y+1)*(y+1)y+;解答：T(n)=nl/2,T(n)=0(nl/2),最坏的情况是y=0,那么循环的次数是nl/2次，这是一个按平 方根阶递增的函数。(3) x=91;y=100;whil e(y0)if(x100)x=x-10;y;elsex+;解答：T(n)=O(l)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了 1000次，但是我们看到n没有?没。 这段程序的运行是和n无关的，就算它
9、再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目 的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。1、时间复杂度(1) 时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可 能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就 可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多， 它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。(2)
10、时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但 有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个 辅助函数f (n),使得当n趋近于无穷大时，T (n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作T(n) = O(f(n),称O(f(n)为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂 度。在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为0(1),另外，在时间频度 不相同时，时间复杂度有可能相同，
11、如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间 复杂度相同，都为0 (n2)。按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶0(1),对数阶0(log2n),线性阶0(n),线性对数阶0(nlog2n),平方阶0(n2)，立方阶0(n3),.，k次方阶0(nk),指数阶0 (2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执 行效率越低。2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作：S(n)=0(f(n)我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。讨论方法与时间复杂度类似，不 再赘述。(3)
12、 渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。【例3. 7】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2, T2(n)=5n3。(1) 当输入量nV20时，有T1(n)T2(n)，后者花费的时间较少。(2) 随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。即当 问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。它们的渐近时间复杂度0(n2)和0(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。在算法精心整理分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将
13、渐近时间复杂度 T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的f(n) 般是算法中频度最大的语句频度。【例3. 8】算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为T(n)=O(n3)，f(n)=n3是该算法中语 句(5)的频度。下面再举例说明如何求算法的时间复杂度。【例3. 9】交换i和j的内容。?Temp=i;?i二j;?j二temp;以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。 算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(l)。?如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执 行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复
14、杂度是0(1)。【例3. 10】变量计数之一。(1) x=0;y=0;(2) for(kT;k二n;k+)(3) ?x+;(4) for(i=1;i=n;i+)(5) ?for(j=1;j=n;j+)(6) ?y+;一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加 1、终值判别、控制转移等成分。因此，以上程序段中频度最大的语句是(6),其频度为f(n)=n2, 所以该程序段的时间复杂度为T(n)=0(n2)。当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句 的频度f(n)决定的。【例 311】变量计数之二。(1)x=1;(2)for(i=1;i=n;i+)(3) ?for(j=1;j=i;j+)(4) ?for(k=1;k=0 & (Ai!=k)?(3)?
