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1、第二节 二重积分的计算(续:极坐标部分)(2)(09,3,10)计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识(1)极点、极轴、极径、极角(2)当极点与原点重合,极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或(3)常见曲线的极坐标方程(从极点出发的射线);(直线);(圆);(圆);(圆).2极坐标系中的面积元素. 见图知: .上式取,推出 .3用极坐标系计算二重积分. 其中: .证明: .4用二次累次积分公式计算二重积分(1)若(极点在外的极扇环),则. (2) 若(极点在边界上的极扇形),则.(3) 若(极点在内部的极扇形),则.例18 计算,其中是由中心在原点,
2、半径为的圆周所围成的闭区域.(此积分无法用实积分计算).解: 令, 于是, 则.例19 计算积分 .()(与下题图形类似上半部)例20(1)(96.3) 累次积分可以写成(A) (B)(C) (D)答(D).因为积分区域的边界可以表示成且于是 故累次积分可写成或.(2),是圆域解区域可表示为,例21 化下列二重积分为极坐标形式(1).(2).(3).(4).5. 重要结论:下列两种情况用极坐标计算简便.(1)当积分区域为圆域或圆域的一部分,或积分区域的边界用极坐标表示较为简单;(2)当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .例22(1)(98.5) 设,求.解令,则.(2)(
3、00.6) 计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.解积分区域可表示为 ,于是,令,得 .(3)(03.8) 计算二重积分,其中积分区域 .解作极坐标变换令,则.令,则.记,由于,故解得.从而.(4)(04.8) 求,其中是由圆和所围成的平面区域(如图).解将积分区域分为大圆 , 与小圆之差.由对称性知 . ,()所以 .(5)(05.9) 计算二重积分,其中 .解将分成与两部分,其中,则 ,其中 ,故 .例(6)计算积分 ,为圆环与直线所围城的第一象限内的区域.解 , .(7)(99.7) 计算二重积分,其中是由,以及曲线 所围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .令,则,.另解:设为矩
4、形区域,为半圆形区域;则;,.三、广义二重积分以下举例说明常见的广义二重积分例23 求,是整个平面.解:令,由于,当时,原积分收敛,且;而当时,原积分发散.例24证明,.(泊松积分)【 , 】证明:因为.所以 .另证:设,且一方面 ;另一方面 由.证法三:设,.则由得 ,将上式取求极限得,即.例25(90.5) 计算二重积分,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.解积分区域可表示为,.例26 设 ,其中 ,求.解 ;.注意 ,在 上讨论:(1) 当即时, ,所以 .(2)当即时,. (3)当即时, .(4)当即时, ,所以 .综上所述 例27 (97.6) 设函数在上连续,且满足方程求.解 由
5、于 ,所以.令,有 ,于是,满足积分关系式 ,易知,将上式两端求导 ,这是一阶线性方程,由通解公式得,其中为任意常数,由,知,所以 .练习1.( ).(a) (b) (c) (d)答(d).因为积分区域为 ,积分区域还可以表示为 ,所以选(d).小结:1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分,以简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化.2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用.3.1)若,则 2)若且,则4.极坐标形式计算二重积分的公式5.下列两种情况用极坐标计算简便.(1)
6、 当积分区域为圆域或圆域的一部分,或积分区域的边(2) 界用极坐标表示较为简单;(2)当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .课后记:存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进行直角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限.计算错误多.二重积分的几何应用例17.计算下列曲面所围成的立体的体积: (1),解这是求以为顶的曲顶柱体的体积.积分区域为,所求体积为 .(2), 解这是求以为顶的曲顶柱体的体积.积分区域为,所求体积为.例16.计算下列曲线所围成的面积:(1), 解由,所围成的区域可表示为,区域的面积为. (2),解由,所围成的区域可表示为,区域的面积为 .13