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1、第十六讲：动点轨迹方程的求法一、直接法坐标代换，化简按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式, 整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时.例1已知直角坐标平面上点Q （2, 0）和圆C: x2 y2 =1，动点M到圆C的切线长与 MQ的比等于常数.0 （如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.【解析】：设M （x, y）,直线MN切圆C于N,则有,x2 y2-1(x-2)2y2.整理得MNMQMO2ON2MQf U -,即(2 -1)x2 ( 2 -1)y2 -42x (1 42) = 0，这就是动点M的轨迹方程若=1，方程化为x=-，它表示过点（5,0）和x轴垂
2、直的一条直线；若2 扎222入工1,方程化为（x2）y -1半径的圆.441 2 ,它表示以（二二,0）为圆心，J：为1）2九2 -1人21二、代入法若动点M （x, y）依赖已知曲线上的动点 N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况.例2已知抛物线2y = x 1，定点 A (3, 1),B为抛物线上任意一点，点 P在线段AB 上,且有 BP:PA=1:2, 线.当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲【解析】：设P(x,y),B(X1,yJ ,由题设，APP分线段
3、AB的比二一一=2 ,PB3 2X1x _ 1 2 _ 1 212y1.解得冶栄x二1 2 2y131=尹2又点B在抛物线y2*1 上,其坐标适合抛物线方程,(3y)22 233（x ）1.整理得点P的轨迹方程为221 2 21(y )2 (x),其轨迹为抛物线.333三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现.例3若动圆与圆（x 2）2 y2 =4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是(A)y212x 12=0(B)y212x12=0(C)y28x=0(D)y28x = 0【解
4、析】：如图，设动圆圆心为 M，由题意，动点 M到定圆圆心(一2, 0)的距离等于它到 定直线x=4的距离，故所求轨迹是以(2, 0)为焦点，直线 x=4为准线的抛物线，并且2p=6,顶点是(1, 0),开口向左，所以方程是y =12(x1) 选(B).例4 一动圆与两圆x2 y2 =1和x2 y2 _8x 12 = 0都外切，则动圆圆心轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆MO| = r +1,【解析】：如图，设动圆圆心为 M，半径为r，则有MC| = r+2, 动点M至俩定点的距MC - MO| =1.离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以0、C为焦点的双曲线的左支，选(C)
5、.四、参数法若动点P (x, y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的 制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程.例5设椭圆中心为原点 O, 个焦点为F( 0, 1),长轴和短轴的长度之比为 t. ( 1)求椭圆 的方程；(2)设经过原点且斜率为 t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为 Q,点P在该直线上，且OPOQ=1 .12 -1，当t变化时,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【解析】：(1)设所求椭圆方程为2y2af rx2+ A =1(a b0).由题意得b2a2 -b2=1,解得b212 -1P(x, y),Q(X1,yJ,解方f 222
6、22t2(t21)X12+(t21)y：12-21 _1 所以椭圆方程为 12(11)x2(12 -1)y2 =t2 X12(12 -1)1OQy1.2(12 -1)12t21其中t 1.消去t,得点P轨迹方程为 X y(x )和X y(x 2).其2 2 2 2轨迹为抛物线x22 y在直线x 2右侧的部分和抛物线x2- y在直线五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程.例6已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线 : y=x,设长为 2的线段AB在直线上移 动，求直线PA
7、和QB交点M的轨迹方程.【解析】：PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化，故可设 A(t,t), B(t - 1,t - 1),t 一2t1则 PA : y2(x 2)(t-2), QB : y2x( -1).消去 t , 得t +2t +1x2 -y2 2x-2y 8 =0.当t= 2,或t= 1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是 x2 - y2 2x -2x - 2y 8 = 0.以上是求动点轨迹方程的主要方法， 也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关 系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程. 但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中 变量的取值范围.
