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1、2.3.2 双曲线的简单几何性质第 1 课时 双曲线的几何性质【学习目标】1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2 理解 离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题问题导学预习新知夯实基础知识点一 双曲线的性质标准方程a2-A1(a0, b0)H=1(a0, b0)图形性质范围x三a或xWayWa或y三a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A/a,0), A2(a,0)A(0,a), A2(0, a)渐近线b y=_x 丿aay=bx离心率e=，幺丘(1,+),其中 c=rja2+b2aa, b, c间的关系c2=a2
2、+b2(ca0, cb0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点(1) x2y2 = 1 ； (2)4x24y2 = 1.答案 (1)的实半轴长1，虚半轴长1(2) 的实半轴长1虚半轴长它们的实半轴长与虚半轴长相等梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为V2.思考辨析判断正误双曲线莹卡二1与莹-；|二10, b0)的形状相同.(V)双曲线a2 -養二1与02-f2=1(aO,b 0)的渐近线相同( X)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(X)离心率是迈的双曲线为等轴双曲线 W)启迪思维探究重点题型探究类型一 双曲线
3、的性质例1求双曲线9y24x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a, b，c及渐近线解双曲线的方程化为标准形式是_y4=1，/.a2 = 9 , b2 = 4 , a 二 3 , b 二 2 , c 二-j!3.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(-3,0) , (3,0),焦点坐标为(-尹,0),(护,0),实轴长2a = 6 ,虚轴长2b = 4 ,离心率e-二斗3 ,a3渐近线方程为y = 2x.引申探究求双曲线nx2 - my2 - mn(m0 , n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线
4、方程把方程 nx2- my2= mn(m0， n0)化为标准方程为疋-y - 1(m0 , n0),mn由此可知，实半轴长a -顾,虚半轴长b二寸n , c = ：m + n ,焦点坐标为(：m + n , 0) , (- -.Jm + n , 0), 离心率亠些甘,a pm V m顶点坐标为(-Jm , 0) , (而,0),所以渐近线方程为y - -= x ,即y二土 补.反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键由标准方程确定焦点位置，确定a, b的值.由c2 - a2 + b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y
5、216x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线解 把方程9y2 - 16x2 - 144化为标准方程为龙竺二4232由此可知，实半轴长 a- 4，虚半轴长 b- 3； c-a；a2 + b2-；42 + 32-5 ,焦点坐标是(0 ,- 5) , (0,5)； 离心率e-c-4；渐近线方程为y-斗.a 43类型二 由双曲线的性质求标准方程例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2), 则双曲线的标准方程为()A.X24=1B.y24X24=1D.y28X24考点 双
6、曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a, b, c及渐近线答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y轴上， 从而可设双曲线的方程为 - 12= 1(a 0 , b0).T 个顶点为(0,2)，.： a 二 2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距白的/2倍，2a + 21 = 2、； 2c.又 a2 + 12 = C2 ,12 = 4 ,所求双曲线的方程为4-；4=】(2)求与双曲线16 昔=1有共同的渐近线，并且经过点A(2羽，一3)的双曲线的方程.考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a, 1, c及渐近线解双曲线- y9=1的渐近线方程为y=4x.当所求双曲线的焦点在x轴上时，设所求双曲
7、线的方程为弓-y|=1(a0,10).a212因为1 = 4，所以1 = 4|a.因为点A(2肩，-3)在所求双曲线上，所以02 -碁=1.联立得方程组无解.当所求双曲线的焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为弓-12=1(a0,10), 因为点A(2护，-3)在所求双曲线上，所以-12二1. 由，得a2 = 4,12 = 4,因为b二4,所以73一一所以所求双曲线的方程为普-手二1.944反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式（2）巧设双曲线方程的六种方法与技巧 焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为a
8、2 - b2= l（a0，b0） 焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为a2 - b2= 1（a0 , b0） b2l0， b0)的离心率e=3 ，过点A(0， b)和B(a,0)的直线与原点 的距离为学，求此双曲线的标准方程.考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解(1)设所求双曲线的方程为4- x3二皿工).点M(3 ,- 2)在双曲线上，：4 - |二久，即久二-2.双曲线的标准方程为存1.e卑，a詈.a2 二 3b2.又T直线AB的方程为bx - ay - ab = 0 ,；,d= Jab|二，即 4a2b2 二 3(a2 + b2).a2 + b
9、22解组成的方程组，得a2二3 , b2二1.x2双曲线的标准方程为专 小二1.类型三 求双曲线的离心率x2 y2例3已知F, F2是双曲线-b2=1(a0, b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴 的双曲线的弦，如果ZPF2Q=90,求双曲线的离心率.考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率解设f1(c,o)，将x二c代入双曲线的方程得筹-bi二1，那么y.a由 lpF2l 二 IQF2I , ZPF2Q 二 90，知IPFJ 二 IF1F2I , 所以二 2c，所以 b2 二 2ac ,a所以 C2 - 2ac - a2 = 0 ,0 ,Va丿a即 e2 - 2e - 1
10、= 0 ,所以e = 1 +羽或e = 1 -农(舍去),所以双曲线的离心率为1 +2反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法：(1)若可求得a,c,则直接利用e =求解a(2)若已知 ab，可直接利用叮1+(3) 若得到的是关于a , c的齐次方程pc2 + q-ac + ra2 = 0(p , q , r为常数，且pHO)，则转化 为关于e的方程pe2 + q e + r = O求解.x2y2跟踪训练3设双曲线忌一=1(ba0)的焦距为2c,直线l过点A(a,O), B(0, b)两点，已3知原点到直线l的距离为誉c，则双曲线的离心率为.考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率答案
11、2解析如图所示，在aoab中，3IOAI = a , IOBI = b , IOEI = =c ,IABI = ；a2 + b2 = c.因为IAB|.|OEI = IOA|.|OBI , 所以 c4c = ab，即乎(a2 + b2) = ab , 两边同除以a2，得乎)2 -号+乎=0 ,解得汽碱a=*(舍去)，所以e = c =a达标检测检测评价达标过关1. 已知双曲线方程为X28y2=32，贝)A. 实轴长为4a/2,虚轴长为2B. 实轴长为8运，虚轴长为4C. 实轴长为2,虚轴长为4p2D. 实轴长为4,虚轴长为8迂考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求 a, b, c答案
12、B解析 双曲线方程x2 - 8y2二32化为标准方程为|2 - 4 - 1，可得a -代厲,b = 2,所以双曲线 的实轴长为碍，虚轴长为4.2. 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=|x的是()A. X2 =1B. 4y2=1C. x2=1D. y24 =1考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 D解析 从选项知，焦点在y轴上的双曲线有4 -X2-1与y2-X4- 1，而4 -X2-1的渐近线方程是y二2x ,y2x2=1的渐近线方程是y1?故选 D.x2 y23.若双曲线历一占=10, b0)的一条渐近线经过点(3, 4),则此双曲线的离
13、心率为()545B4 C3 D-3考点 双曲线的离心率与渐近线题点 渐近线与离心率的关系答案 D解析双曲线K 二1的一条渐近线经过点(3,-4),3b-4a，.: 9(c2 - a2) - 16a2，/.e = C3，故选D.a34. 设双曲线的渐近线方程为y=|x,则该双曲线的离心率e=.考点 双曲线的离心率与渐近线题点 渐近线与离心率的关系 答案或兮b1解析当焦点在x轴上时，a二1，所以e2二1+牛1+1二4,所以e二半；a24 42当焦点在y轴上时,a = 2,b2所以 e2=1+0|二 1+4 二5，所以 e 二远.5. 已知F是双曲线C： x2-y8 =1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6i/6）.当AAPF周长最小时,该三角形的面积为考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案12： 6解析 设左焦点为F1，|PF| -|PF1l = 2a = 2, IPFI 二 2 + IPFJ , APF 的周长为IAFI + IAPI
