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1、“离散型随机变量”的教学设计一、内容和内容解析 “随机变量与其分布”一章的主要内容就是要通过详细实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量与其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的概型并能解决简洁的实际问题，使学生相识分布列对于刻画随机现象的重要性，相识正态分布曲线的特点与曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事务相互独立的概念。“离散型随机变量”是这一章的开门课。因此，在本节课中，让学生了解本章的主要内容与其探讨该内容所用的数学思想方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习爱好特别重要。于是，本节课的第一个教学任务就是要做好章头图的教学。教材的章头图从
2、实例和图形两个方面展示了本章要学习的内容，一个是离散型随机变量的产生背景和分布列的条形图，另一个是正态分布的背景和正态分布密度曲线。教学时要充分地运用章头图的这两个背景，通过问题的形式，帮助学生明确本章要学习的主要内容和意义。对于一个随机现象，就是要了解它全部可能出现的结果和每一个结果出现的概率。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以与每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。为了运用数学工具探讨随机现象，须要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁随机变量。随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。而中学阶段主要探讨的是有限的
3、离散型的随机变量，因此，本节课的其次个教学任务就是通过详细实例，帮助学生驾驭随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能确定其取值范围。二、目标和目标解析1.了解本章学习的内容和意义。详细要求为：（1）通过章头图中给出的射击运动的情景，帮会学生了解，在射击运动中，每次射击的成果是一个特别典型的随机事务。在这个离散型的随机事务中，如何刻画每个运用员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选拔运动员参与竞赛获胜的概率大？这些问题的解决须要离散型随机变量的概率分布、均值、方差等有关学问；（2）通过章头图中给出的高尔顿板嬉戏情景
4、，帮助学生了解在这样一个连续型的随机事务的嬉戏活动中，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最终会积累成什么形态？这些问题与本章将要学习的正态分布有关；（3）在上述两个情景的基础上，通过问题的形式，帮助学生提出本章要探讨的问题和基本思想：随机事务形形色色，随机现象表现各异，但假如舍弃详细背景，它们就会呈现出一些共性；假如把随机试验的结果数量化，用随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来探讨这些随机现象。这样不仅阐述了本章的主要内容，而且激发了学生的学习爱好，使他们明确本章的学习目标以与探讨本章内容的数学思想方法。2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以与随机变量与函数的关系，能够把一
5、个随机试验的结果用随机变量表示，能够依据所关切的问题定义一个随机变量。详细要求是：（1）在对详细问题的分析过程中，帮助学生理解用随机变量表示随机试验结果的意义和作用：为了运用数学工具探讨随机现象，须要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁随机变量，驾驭随机变量的描述性概念，了解随机变量与函数的关系，构造随机变量应当留意的问题（如随机变量应当有实际意义、应当尽量简洁，以便于探讨），以与用随机变量表示随机事务的方法等；（2）通过详细问题的对比分析，帮助学生理解随机变量有两个类型： 能够依据详细问题，把随机试验的结果用一个随机变量表示，并能写出其取值范围；能够娴熟地用随机变量的取值表示一个
6、随机事务； （3）通过反思随机变量的定义过程，引导学生体会，在实际应用中如何依据实际问题恰当地定义随机变量（如依据所关切的问题，定义随机变量），以达到事半功倍的效果。 三、重点和难点解析本节内容是为求分布列作铺垫的一节概念课。所以要把随机变量和离散型随机变量的概念讲清晰。于是，可以确定的重点、难点是：重点：用随机变量表示随机试验结果的意义和方法； 难点：对随机变量意义的理解；构造随机变量的方法；随机变量取值范围的确定。 四、教学问题诊断分析1.是否讲解“随机试验”的概念？探讨随机现象，就是要探讨随机试验可能出现的结果（其中的每一个结果即为一个随机事务）和每一个结果发生的概率（即描述每一个随机事
7、务发生可能性大小的度量），从而把握它的统计规律。这里有三个概念：随机事务、随机现象和随机试验。在必修三中，学生已经学习了随机事务的概念（即在条件S下可能发生也可能不发生的事务，叫做相对于条件S的随机事务），之前，学生通过在初中数学和必修三的概率学习，又有了随机现象的观念，因此，学生对“随机试验”的概念是能够不加定义而自明的，也就是“随机试验”可以作为不加定义的原始概念引入。事实上，教材在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念（教材第44页第一个思索下方第一行），就是基于这样的考虑，因此，在教学中，对“随机试验”的概念不须要（也根本没有必要）引导学生下定义，以避开严格的定义可能
8、造成学生理解的模糊，影响对主干概念“随机变量”的理解。事实上，“试验”一词有特别广泛的含义：凡是对对象的视察或为此而进行的试验都称之为试验。假如一个试验满意以下条件，则称之为随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的全部结果是明确且可以知道的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果。2.怎样建构“随机变量”的概念？本节内容围绕随机试验的结果可以用“数”表示进行绽开。掷骰子试验、掷硬币试验是学生比较熟识的两个随机试验，对掷骰子试验的结果和数字16对应起来学生很简洁理解，而掷硬币试验的结果则不简洁联想到数字。可以
9、引导学生思索：值一枚硬币的结果是否也可以用数字表示呢？通过把“正面对上”与1对应，“反面对上”与0对应，使得掷硬币的试验结果同样也可以用数字表示，这样的问题还可以列举，如新生婴儿性别抽查：可能是男，也可能是女，同样可以分别用1和0表示这两种结果，在此基础上抽象概括出随机变量的描述性定义。3.怎样深化对“随机变量”概念本质的理解？对随机变量概念的理解，不是下个定义一步完成的，为了帮助学生深化地体会随机变量的本质，可以对掷硬币的试验结果的表示方法提出下面问题：还可以用其他的数来表示这两个试验结果吗？目的是激励学生提出其他表示方法，比如“正面对上”用1表示，“反面对上”用-1表示等，以使学生理解随机
10、变量的本质。事实上，对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示其全部可能出现的结果。为了帮助学生体会，原委选择什么样的随机变量更为合适？这就涉与到构造随机变量应当留意的一些基本问题：如随机变量应当有实际意义，应当尽量简洁，以便于探讨。例如，对于掷n次硬币出现正面的次数可以表示为，其中，通过这样的例子，帮助学生体会用数字1和0表示，能够干脆反应出正面对上的次数，这明显很便利；而用1和-1分别表示试验结果的反面和正面，则掷n次硬币出现正面的次数的表达式就会变得很困难。为了进一步深化对概念的理解，可以引导学生将随机变量与函数概念进行类比：随机变量与函数有类似的地方吗？使他们了解随机变量的概念事实
11、上也可以看作是函数概念的推广。 4.如何通过随机变量表示所关切的随机事务？引入随机变量的目的是为了探讨随机现象，则如何通过随机变量表示所关切的随机事务呢？可以通过一些例子介绍用随机变量表示随机事务的方法，特殊是一些较为困难的随机事务的表示方法。例子的类型列举可以广泛：如有穷可列、无穷可列、不行列等三个类型。特殊是对不行列的随机变量问题，可以依据所关切的问题，能够把它构造成可列的随机变量。从而进一步体会用随机变量表示随机事务的方法。 五、教学过程设计 1.情境引入情境1：在射击运动中，运动员每次射击的成果具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成果是一个什么事务？（随机事务）如何刻画每个运动员射
12、击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参与奥运会的竞赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉与到离散型随机变量的概率分布模型。 情境2：高尔顿是英国生物学家和统计学家，他设计了一个闻名的嬉戏高尔顿板嬉戏。如图，在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前后挡有玻璃，然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最终会积累成什么形态？这个问题近似地听从正态分布，它是许多自然现象和生产、生活实际问题中常常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。 以上两个问题就是我们本章要
13、学习的两个重要的随机变量概率分布模型，本章的课题是随机变量与其分布。 引言：我们知道，概率是描述随机事务发生可能性大小的度量。无论是运动员的一次射击，还是利用高尔顿板做一次嬉戏，都是随机试验，只要了解了这些随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事务），以与每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。随机事务形形色色，随机现象表现各异，但假如舍弃详细背景，他们就会呈现出一些共性；假如把随机试验的结果数量化，应随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来探讨这些随机现象。引导学生阅读章头图的内容。然后展示本章的学问结构图：两类随机变量的概率分布模型：离散型随机变量（在讲概率分布列、
14、均值和方差的基础上）探讨二项分布和超几何分布模型；连续型随机变量正态分布模型。 2.离散型随机变量问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事务发生可能性大小的度量。如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的全部可能结果有哪些？设计意图：能够判定简洁的随机试验，并能列举出全部可能的结果，为用“数”表示这些结果做好打算。问题2：（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，2，3，4，5，6中的某一个数； （2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，10中的某个数。下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢？ （3）掷一枚硬币全部可能的结
15、果；正面对上1；反面对上0 （4）新生儿性别，抽查的全部可能的结果；男1；女0设计意图：通过探讨引导学生发觉任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。问题3：上述四个例子说明，随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。这样随机试验的结果就可以看成是一个变量，我们称其为随机变量。你能给随机变量下一个定义吗？设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较精确就可以，不确定依据课本的描述性定义。如一般地，假如一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，等。问题4：在（3）和（4）的两个随机试验中，其试验的结果是否还可以用其他人数字表示？设计意图：通过探讨，得出结论：一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。 问题5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他数字表示，则，在5次掷硬币的随机试验中，出现“正面对上”的次数可以怎样表示？由此你认为定义一个随机变量须要遵循哪些原则？设计意图：出现“正面对上”次数，当一次试验的结果表示为 =0，1，2，
