数列方法总结

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1、数列通项公式的求法一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类 型的题目例1.等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列,.求数列的通项公式。 解：设数列公差为成等比数列，即, 由得：， 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写 出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例 2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评:利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以

2、通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数 列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型 1 递推公式为解法:把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解.（2004全国卷I.22）已知数列中，其中，求数列的通项公式。P24（styyj）例 3. 已知数列满足， ,求。解:由条件知:分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型 2 （1）递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解.（2004 全国卷 I。15）已知数列a”,满足 a1=1， an=ax+2a2+3a3+ （n l）a”T（n三2），则a” 的通项P24（styyj）例4. 已知数列满足，求。

3、解:由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）.由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有， ，依次向前代入，得，简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。（1） 递推式：解法：只需构造数列,消去带来的差异例 5设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（1 ）则，又,故代入（1）得 说明:（1）若为的二次式，则可设；（2）本题也可由 ,（）两式相减得转化为 求之.例 6已知， ,求.解：。类型3递推公式为（其中p, q均为常数,） 解法：把原递推公式转化为：,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.（2006。重庆。14）在数列中，若，则该数列的通项 P24（styyj）例7.已

4、知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即。故递推公式为,令,则,且。所以是以为首项, 2 为公比的等比 数列，则，所以.类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或，其中p，q， r均为常数）（2006全国1.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（I）求首项与通项；P25（s tyyj）解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得: 引入辅助数列（其中），得：再应用类型3 的方法解决。例8。 已知数列中，求。解：在两边乘以得： 令，则，应用例7 解法得：所以类型5递推公式为（其中p,q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s, t满足，再应用前面类型3

5、的方法求解.（2006。福建.理.22）（本小题满分 14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；P26 （styyj）例9。 已知数列中， ，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列，所以，应用类 型 1 的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型 6 递推公式为与的关系式。 （或） 解法：利用进行求解。（2006.陕西。 20）（本小题满分12分）已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1，a3,a15成等比数列，求数列an 的通项 anP24（styyj）例10。已知数列前n项和。（ 1）

6、求与的关系；（ 2）求通项公式.解:（1）由得： 于是 所以。（2）应用类型4 的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2 为首项，2 为公差的等差数列，所以 类型 7 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解 例 11。 已知数列中，；数列中，。当时，,，求，。解：因所以即（1）又因为所以。即（2）由（1）、（2）得：，四、待定系数法（构造法） 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能 力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现 了数学中化未知为已知的化归思想 ,

7、而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转 化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q （p工1, pqM0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk k=q,即k=，从而得等比数列a+k.例12、数列a满足a=1,a=a+1 （n三2）,求数列a的通项公式。解：由 a=a+1 （n三2）得 a2=（a2）,而 a2=12= 1,数列 a2是以为公比，一1为首项的等比数列a2=（）a=2（）说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列 a2，从而达到解决问 题的目的。例13、数列

8、a满足a=1，,求数列a的通项公式.解：由得设a,比较系数得解得.是以为公比,以为首项的等比数列 例 14已知数列满足，且，求解：设，则,是以为首项，以 3 为公比的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来 求得，也可用“归纳猜想证明法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型 例 15已知数列满足， ，求解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项,为公比的等比数列因,点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型.2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解.这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的 分解，可

9、得等比数列:设,比较系数得,可解得。（2006.福建。文.22）（本小题满分 14 分）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例16、数列满足=0,求数列a的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1 和 2 适当组合，可发现一个等比数列。解：由得即，且是以2为公比，3为首项的等比数列利用逐差法可得例 17、数列中,求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有是以为公比,以为首项的等比数列 由逐差法可得 说明：若本题中取,则有即得为常数列,故可转化为例 13.例 18已知数列满足,，求解：设或则条件可以化为是

10、以首项为，公比为的等比数列,所以问题转化为利用累加法求数列的通项的 问题，解得点评:递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由，求出，从而化归为上述已 知题型五、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时,为常数列,即,其中是 以为公比的等比数列，即.例 19已知数列满足：求解：作方程当时,数列是以为公比的等比数列.于是2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时， 数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的 通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方

11、程组）。例 20：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得 且。则数列是以为首项,为公比的等比数列，于是 。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列:， 的特征方程是：。又由，于是故3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于,都有（其中 p、q、r、h 均为常数,且），那么,可作 特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等 比数列.（2006。重庆.文。22）（本小题满分12 分） 数列求数列的通项公式。解：由已知，得,其特征方程为,解之，得。 P26 （styyj）例 21、已知数列满足性质：对于且求的通项公式

12、。解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2 的第（2）部分 则有即 例 22已知数列满足: 对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求 （4）当取哪些值时,无穷数列不存在? 解：作特征方程变形得 特征方程有两个相同的特征根依定理2 的第（1）部分解答。（1）V对于都有（2）V 令，得。故数列从第 5 项开始都不存在, 当W4,时,。（3 ） 令则.对于4）、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知,时，数列是 存在的，当时，则有令则得且22.当（其中且N22）时，数列从第项开始便不存在。 于是知:当在集合或且22上取值时，无穷数列都不存在

13、.说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。 （取倒数法）例 23：解：取倒数: 是等差数列，六、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出 一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产 生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出 该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。1、构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比 数列，无疑是一种行之有效的构造方法。例24:设各项

14、均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n,都有等式：成立，求的通项 an。解：，即是以2为公差的等差数列，且。例25:数列中前n项的和，求数列的通项公式。解：当n22时，令，则，且是以为公比的等比数列，2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差 ，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例26:设是首项为1的正项数列，且，（nN*）,求数列的通项公式an. 解：由题设得。例27：数列中，且，（nN*）,求通项公式。解: CnGN*）3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法。例28：数列中，前n项的和，求。解：4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例29：设正项数列满足，（n22）.求数列的通项公式. 解：两边取对数得：，设，是以 2 为公比的等比数列，。， 例30：已知数列中,n2时,求通项公式. 解：,两边取倒数得.可化为等差数列关系式。