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1、有限覆盖定理T紧致性定理证明：设数列x 满足a x 取 二 1/n，则 3 x e (x 一 1/n, x +1/n),(k k )kn00nn-1则xk为x“的子数列，满足x -x0 1/n To,(ninn故xJ收敛于叮定理证完柯西收敛定理T确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明：设数集A非空有上界，设b是A的上界1因为A非空，设x0 e A，则存在a x0 ,a 就不是 A 的上界。1b ，如果a +勺 是A的上界，则取1 2a Y b，用a， b的中点a + b二等分a，1 1 1 1 1 1 11，a 2，b 2 = a 1,宁；如果宁不是A的上界，则取a 2，b 2
2、=宁，卩 用a 2，b的中点a 2 + b 2二等分, b 如此继续下去，得一闭区间列 % ,b,a , b 二a 1, b 1，lim （ b a）=0 n nn +1 n +1lim b annn t a数列 a ，b 满足Vn，nna不是A的上界，b是A的上界。nn下证 a ， b 是收敛数列。 nn7 lim（ b - a）=，即 V a 0， 3 N ,n t ann当 n a N ，有| b a | y 。nn又对 Vp g Z+， a a b b ，nn+pn+ p n故 I a- a I （ b a ） y ，故 a 是n + pn n n n）=0，故 lim b =r n ntannta最后证 r=supA。收敛的，设lim a =r。又因lim ( b a n nt a因为b是A的上界，故对Vx g A, x b，由极限的保序性，x 丫，则3n，当n A N，有a r。而对Vn， a不是A的上界，故r就 nta nnn不能是A的上界故r=supA。定理证完。
