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1、二次函数的性质及有关知识一览表 初中数学（高县柳湖中学校） 王福军二次函数性质一览表表达式(a 0)a 值 图像开口方向对称轴顶点坐标增减性 最值 举 例当 x 0 y x 时, 随当 x=0 y 时,的增大而增大a 0 y 0 0 向上 轴 （ , ）当 x 0 y x 时, 随的增大而减小2y=ax有最小值,即 y 最小值 =02y=3 x42y=3xa0 向下 y 轴 （0,0）当 x0 时,y 随 x的增大而减小当 x0 时,y 随 x的增大而增大当 x=0 时,y有最大值,即 y 最大值 =02y=-5xy=1 x23y=ax 2+k2+ka0 向上 y 轴 （0,k）当 x0 时,
2、y 随 x的增大而增大当 x0 时,y 随 x的增大而减小当 x=0 时,y有最小值,即 y 最小值 =ky=4x 2+52+5y=3x2-1a0 向下 y 轴 （0,k）当 x0 时,y 随 x 的增大而减小当 x=0 时,y有最大值,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大即 y 最大值 =ky=-2xy=-3x2+32-2直线x=h（h,0）当 xh 时,y 随 x的增大而增大当 x0 时,y 随 x的增大而减小当 x=h 时,y有最小值,即 y最小值 =0y=2(x-3)y=1 (x+2)22a0 向上22y=a(x-h) 当 xh 时,y 随 x直线的增大而减小a 0 向下（h 0 ,
3、 ）当 x0 时,y 随 xx=h的增大而增大当 x=h 时,y有最大值,即 y最大值 =0y=-3(x-2)y=-2(x+1)22直线a0 向上 （h,k）x=h当 xh 时,y 随 x的增大而增大当 xh 时,y 随 x的增大而减小当 x=h 时,y有最小值,即 y最小值 =ky=5(x-2)y=2(x-1)y=3(x+1)y=4(x+2)2+12-32+22-4y=a(x-h)2+k直线a0 向下 （h,k）x=h当 xh 时,y 随 x的增大而减小当 xh 时,y 随 x的增大而增大当 x=h 时,y有最大值,即 y 最大值 =ky=-2(x-1)y=-3(x-2)y=-4(x+1)y
4、=-5(x+2)2+32+12+32+4y=ax 2+bx+c2+bx+c可化为：a0 向上直线x=-b2ab（-2a,4 2ac b4a）b当 x-当 x - 2 时,ya随 x 的增大而增大b2a时,y随 x 的增大而减小b当 x=-2a时,y 有最小值,即 y=最小值4 2ac b4ay=2x 2 +3x+42 +3x+4y=3x2-3x+4y=4x 2 -3x-42 -3x-4y=5x 2 +3x-42 +3x-4y=a(x+ 2ba )2+4 2ac b4aa0 向下直线bx=-2ab（-,）2a24ac b 4ab当 x-当 x - 时,y时,y2a随 x 的增大而减小b2a随 x
5、 的增大而增大b当 x=-y最大值=2a时,y 有最大值,即4 2ac b4ay=-2xy=-3xy=-4xy=-5x2 +3x+42 -3x+42 -3x-42+3x-41二次函数的性质及有关知识一览表 初中数学（高县柳湖中学校） 王福军二次函数的有关知识一、用代定系数法求二次函数表达式的方法 (a 0) ：1 、一般式： y=ax 1,y 1),(x 2, y2),(x 3 ,y 3) 可设一般式求得 2+bx+c 已知抛物线任意三点 (x2 、顶点式： y=a(x-h) 2+k 已知顶点坐标（ h,k）和任意一点 (x,y) 可设顶点式求得 3 、两根式： y=a(x-x 1)(x-x
6、2) 已知抛物线与 x 轴是的两个交点（ x1,0）,（x2,0）和任意一点 (x,y) 可设两根式求得 二、二次函数图象平移变换关系：三、二次函数图象（抛物线）与 x 轴交点情况的判断：yax 2+bx+c （a0,a、b、c 都是常数）四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1、二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的解。因此利用二次函数图象可求以 x 为未知数的一元二次方程 ax 2+bx+c0 的解（从图象上进行判断） 。2 、二次函数 yax 2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等
7、式 ax2+bx+c0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax 2+bx+c0 的解。五、关于 x 轴、y 轴对称的二次函数图象的关系：二次函数 yax 2+bx+c 与 yax2+bx+c 关于 x 轴对称,即关于 x 轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数,一次项系数和常数项相同。六、二次函数 yax 2+bx+c, 当 a、b 同号时,对称轴直线 x2+bx+c, 当 a、b 同号时,对称轴直线 xb2 在 x 轴的负半轴,即 y 轴的左则；当 a、b 异号时,对称轴直线 xab2a在 x 轴的正半轴,即 y 轴的右则；当 c0 时,图象交于 y 轴的正半轴；当 c0 时图象一定过原点；当 c0 时,图象交于 y 轴的负半轴。七、任意一个二次函数 yax 2+bx+c(a 0,不考虑 b和c 的取值 ) 都可以化为 y=a(x+ b ) 2 +2+bx+c(a 0,不考虑 b和c 的取值 ) 都可以化为 y=a(x+ b ) 2 +2a24ac b 4a的形式 , 即顶点坐标为 (2b 4ac b ,2a 4a),当 x=-b2 时,y 有最值,即 ya最值 =4 2 , 对称轴是直线 x=-ac b4ab2 .a2知识改变命运
