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1、1、试将二重积分JJ f (x , y)dQ化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为:D1 ) 由直线 y = x ， x = 3 及双曲线 xy = 1 所围成的区域。JJf(x, y ) d q = P dx J： f (x , y ) dy1DxJJ f (x , y )dq = J dy J f (x , y )dx +P dy P f (x , y )dx111 yD3 y2)环形闭区域：1 X2 + y2 4=Jdx J 4f (x , y )dy + P dx J-二 f (x , y )dy-2-、4 - x2-1-t 4 - x2+dx J f (x , y ) dy +J?
2、 dx J 匕 f (x , y ) dy-11 - x21- 4 - x2=J dy J 二 f (x , y ) dx +dyJ-二 f (x , y ) dx-2-4- y2-1- 4- y2+ P dy J f (x , y ) dx + + J ? dy=J2K d0 P f (r cos 0 , r cos 0 ) rdr01-11 - y21- 4 - y2JJ f (x , y )dQD 2、改变下列二次积分的次序1)J 2 dy J $y f (x , y ) dx = P dx J f (x , y ) dy。 0y20“22)3)dx12 - XJ2dx J 7f (x
3、, y )dy = Jdy J1+ 1- f (x , y )dx 。02 yJ dy Py f (x , y )dx + J3 dy J3-y f (x , y )dx = J2 dx J3-x f (x , y )dy 。 0 0 1 0 0 x23、画出积分区域，并计算二重积分1)JJ xyydQ ,其中D是由抛物线y = &D解：原式=J】 dx J x x： y dy0x2dxf 7)03x 4 - x4k丿x 411355502)D解：1=e23)计算 JJ (31e -1 + e e 22 x2 y2)db ,其中 D 是由不等式0解：原式=J” dx Jsin x (x2 -
4、y 2冗=Jnx2dx1o sx + 2x s inx + 2 c o sx + 一c o sx3x2 y -0 y sin x , 0 x 0)所围成闭区域的面积。解：解方程组y2 = 2 px + p2y2 = - 2 qx + q2所求闭区域面积pqp + q)(pq - y2)dypqp + qpqy3pqy -3q2 - y22 q dx =y2 - p22p一 / )pq2 ( p + q ).=pq32 pq5、求由四个平面 x = 0 ,y = 0 , x = 1 , y = 1所围成的柱体被平面z = 0及2x + 3 y + z = 6所截得立体的体积。解：设D为x = 0
5、 , y = 0 , x = 1 , y = 1围成的平面区域，则V = JJ (6 - 2x - 3y)dxdy = J dx J (6 - 2x - 3y )dy = J 00D6、化下列二次积分为极坐标下的二次积分1) J dy J f (x , y )dy =00J 4 dO Jc f (r cos O , r sin O )rdr + J 2 dO Jf (r cos O , r sin O )rdr 。 00兀042) J2dx3x0xJ 3 d 0 JecO f (r ) rdr 。 丁047、利用极坐标计算下列积分1) JJ ex2 + y2db，其中D是由圆周x2 +y2 =
6、 4 所围成的闭区域。2 =K(e 4-1)解：原式=J? d Op rer 2 dr = 2 冗002)JJln G + x2 + y2 )db，其中D圆周x2 + y 2 = 1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭D区域。解：原式=J 2 dO P r ln00+ r2)dr =21 () r 21(r2 ln 1 + r2 一 + 一 ln 1 + r22 2 2rl n2 I3)利用极坐标计算JJ yd a其中D是由不等式ax y , a2 x2 + y2 a 0 , b a 0)。yDO解：区域D只有一块D: arctan a 0 arctan B , a r b-(b3 - a3 Xc
7、os arctan3a 一 cos arctanJ! yd / = farctan B d 0 J br 2 sin 0drarctan a aD1 (b 3 一 a 3 亠一宀31 11 + a 2 v1 + 卩 24)利用极坐标计算：口 xdb，其中D是介于两圆x2 + y2 = 2x ,Dx2 + y2 = 4x 之间的闭区域。解：做草图8、用适当的坐标计算下列积分1) ff xydx D : (x - 1 )2 + (y - 1 )2 1。解：原式= f2 dx f1 +2 x 一 x 2xydyf2 -x 一 x2 一 22一 2xdx0=f2f2 (2 一 2 x ) 2 x 一 x2 dx + 2 f2 2 x 一 x2 dx2(2 x 一 x 2 )23x2 y2x2y22)ff 钻+ d b,D 1a2 b2a2b2Dd xd x解：令x = ar cos 0，d rQ0a cos 0一 ar sin 0y = br sin 0d yd yb sin 0br cos 0d rQ00注：利用坐标平移计算更简洁abr原式=J “d0 P abr 2dr =002兀ab
