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1、如何构造辅助数列简化求解通项公式作者：陕西洋县中学 刘大鸣 李鹏云求数列的通项公式，整体变形探求相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差或等比数列，通过解方程从而使问题获解.如何探求这个整体辅助数列？常需挖掘题设关系，用“待定系数法”、方程的观念、化归思想求解.1 一般数列由切入点入手，构建 的整体变量的数列求解.例1 各项非零的数列的前n项和，首项且，求数列的通项.解析：由一般数列的切入点，“”和题设易化归辅助数列为等差数列求解.由和一般数列的切入点有，整理有，易知，整体把握等差数列定义变形有，.则数列为首项，2为公差的等差数列，.故所求通项公式 1 （）an= . 评注：一般数列的切入点沟
2、通了和于项之间的关系，常常借助于它寻求一般数列的切入点，构建辅助数列为等差（比）解决问题。2 “等差型或等比型”数列用“累加（乘）法求通项公式。例2（04重庆高考）设数列满足 求数列的通项公式.解析：本题实质是求等差型数列的通项，为降低难度设计构造了一个辅助数列为等比数列，再用累加法求通项.从三项满足的递推关系和题设入手，设则是等比数列，故，类加法得，评析：等差（比）型数列取n-1个等式累加（乘）消（约）项得到数列通项公式，体现方程思想和特殊化思想的应用，蕴涵着演绎推理的方法。3相邻两项满足一阶线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解. 例3（05山东）已知数列前n项和为Sn，且S
3、n+1=2Sn+n+5（nN*）,求数列的通项公式 解析：由一般数列的切入点入手，探求相邻两项满足的一阶线性递推关系，构建辅助数列为等比数列求解。一般数列的切入点沟通， 由已知 两式相减，得 即 变形构造数列 ， 从而当n=1时，S2=2S1+1+5， 又从而 故总有 又 从而即为首项，2为公比的等比数列，则评注：相邻两项满足线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求通项解决。 4相邻三项满足线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解.例4 （05广东）已知数列（ ） A B3 C4 D5解析：若注意选择题的特征，变量辅值，取特殊值有，选B；若注重求解数列求通项的方法以及数列
4、极限的求法，注意到相邻三项满足线性递推关系，可待定系数法化为辅助数列为等差型数列求解。从递推关系入手，若，则对照系数有，故，为等比数列，首项为，公比为，则数列为等差型数列，取n-1个等式累加有，评析：相邻三项满足一阶线性递推关系的数列待定系数化为辅助数列为等比数列，其原数列实质为等差型数列，应积累这一学习体验。5 利用点在曲线上的意义构建辅助数列求解.例5 已知一次函数的图关于直线对称的图象为C，且=0，若点在C上，时，对于大于或等于2的自然数均有. 求C的方程； 求数列； 若 设C的方程为 ，由的图关于直线对称的图象为C，且=0，则在C上，故。又点在C上，则 由知，是首项为，公差为1的等比数
5、列， 6 构建辅助数列为“等差型或等比型数列”求解.例6已知数列满足，求数列的通项公式.简析：注意题设的特殊，对关系式整体变形构建辅助数列为“等差型数列”求通项.注意次数关系，两边同除以为等差型数列，取n-1个等式累加有，由则 注：本题依据齐次式的特征，变形构建为等差型数列，用“累加法”求通项是求解的关键.7捕捉题设的关键信息，方程组的观念构建求解例7已知数列的前n项和， 满足，求数列的通项公式.简析：本题系04年高考题，大都是用“叠代法”求解的.若注意一般数列的切入点，注意到关键信息 总异号，可构建辅助数列为等比数列求解.由，则，注意到一般数列的切入点，由关键信息 总异号，两递推关系相加构建有 是首项为，公比为2的等比数列，与联立解方程有，显然n=1时也成立.注：本题由一般数列的切入点入手，探求相邻项之间的关系，注意到关键信息总异号，构建相邻两项的和为等比数列，构建方程组解出通项公式使问题简单获解，应积累这种学习体验.例8数列中，是否存在自然数m，当nm时，？简析：捕捉关键信息，考察辅助数列有关的数列是否为等差数列或等比数列？思维切入，由题设，为第7项， 故满足题设条件的m存在且m=8. 注：捕捉关键信息为分式类函数关系，部分分式探索辅助数列为等差数列是求解的关键.
