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1、数学中的一种重要数学思想数形结合原阳县教师进修学校 温彦学 453500摘要：数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种 “结合”寻找解题途径，使问题得到解决它是一种处理问题的有效方法。关键词：数形结合 数学思想 函数 方程数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的的精确性来阐明形的某些属性数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键问题是代数问题与图形之间的互相转化这种思想方法在数学的各个分支有着广泛的应用，数形结合是一
2、个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的；实数的绝对值是由数轴上的点到原点的距离来刻画的。数形结合在许多方面都有广泛的应用：一、在函数方面的运用例1：已知c0，设P：函
3、数在R上单调递减Q：不等式|x|+|x2c|1的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，试求c的取值范围分析：若本题解决绝对值不等式|x|+|x2c|1采用传统的方法求解，会使问题的解决陷入僵局，但若利用绝对值的几何意义考虑，将会柳暗花明解析：Q：不等式|x|+|x2c|1的几何意义为：在数轴上求一点P(x)，使P 到A(0)，B(2c)的距离之和的最小值大于1显然P在A左端或右端时，|PA|+|PB|AB|；当P在线段AB上时|PA|+|PB|=|AB|；那么P到A、B两点最短距离为|AB|=2c11c点评：解法的关键是将f(x)= |x|+|x2c|，通过语言转换，转化为具体的形，形使我们把握
4、了f(x)的变化情况例2：求函数y=log0.5 |x2-x-12|的单调区间解析；对于函数t=|x2-x-12|=|(x-)2 -49/4|由t=0得x=-3或x=4,知t函数的图像是抛物线的变形，其对称轴是x=1/2，与x轴交点是x=-3和x=4，开口向上，其-3，4部分由x轴下方翻转到x轴上方，又y=log0.5u单调递减，故所求函数与t(x)函数(t0)具有相反的单调区间，结合图像易求出所求函数的单调增区间是(-,-3),4)；单调递减区间是(-3, （4，+）.二、在不等式方面的运用例3：使成立的x的取值范围是_解析：这是一个超越不等式，因而采数形结合的方法作出函数y=及y=x+1的
5、图象，其中y=与y=的图象关于y轴对称，观察图象知1x0xyO1y=x+1y=图1点评：以形助数可以起到事半功倍之效，但图形一定要作准确例4为何整数时，抛物线与直线有两个交点，且一个交点轴的左侧，一个交点在轴的右侧 解：由已知有 又m为整数， 即当时命题成立例5：解不等式 x 分析：令f(x)= ,g(x)=x,在同一直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，其中f(x)的图象是以点）(2,0)为圆心，以2为半径的圆在x轴上方的部分；g(x)的图象是斜率为1，过原点的直线，由图象可知，当2 x 4时，g(x)的图象在f(x)的图象的上方，故原不等式的解集为（2，4三、在解析几何方面的运用例
6、6：已知x、y满足条件，求y3x的最大值与最小值分析：本题可以通过三角换元，转化为三角函数的最值问题，除此之外，还可以运用几何方法将 设y3x=b，把“y3x=b”看成斜率为“3”，截距为“b”的一组平行直线，求y3x的最大值与最小值，即求b的最大值与最小值当直线y3x=b与椭圆相切时取得最值解析：将y3x=b代入中，得，令=0，解得b=13故y3x的最大值为13，最小值为13点评：对于形如式子“ax+by”在有关条件下求最值问题，常采用本例的构造直线的截距的方法来解之四、在解方程方面的运用例7. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方
7、程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】 原方程变形为 即：曲线y(x2) , x(0,3)和直线y1m，由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3 m 0, m1或3m0此题也可设曲线y(x2)1 , x(0,3)和直线ym后画出图像求解例8.方程3x+6x = 的实根个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 解析：方程3x+6x- =0实根个数就是两个函数y=3x+6x与y= 图像的交点个数，作出示意图易见结论应是3个.五、在求函数最值方面的应用例9. 求函数y=+ 的最小值.函数值看作动点(x,0)到两
8、定点P（0，3），Q（5，-2）的距离之和,三点共线时和最小。例10：求y= + 的值域将原函数化为y=+ xR可看作坐标平面上的动点P(x ,x),到定点A（3，0），B（1，4）的距离之和，易见当点P在直线y=x上与直线AB的交点处时y有最小值，所以，y|AB|=2,值域为2,+）. 数形结合的思想是很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具。在今后的学习中，我们要逐步加深对它的理解，并且要学会这种解决问题的方法。它的好处是直观、形象、帮你找的解决问题的捷径。运用数形结合的思想方法分析解决问题时，要把握三个原则：一是等价性原则，要注意由于图形不能精确刻画数量关系带来的负面效应；二是双向性原则，既进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探索，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单性原则，不要为了“数形结合”而刻求，一定要考虑到是否可行、有利
