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1、复数的有关概念重点难点1. 复数的定义:形如a+bi(a,bUR)的数叫做复数。a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。 复数的分类如下：实数& = 0)；(虚数3工0),当盘=0且b H 0时为纯虚数2. 复数相等的充要条件设 a,b,c,dUR,则 a+bi=c+di a=c 且 b=d。特别地:a+bi=O a=b=O。应当理解:(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样 (2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。3. 复数的几何表示(1)坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点Z表示复数z=a+bi。(2)向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为
2、终点的向量?表示复数z=a+bi。向量?的长度叫做复数a+bi的模，记作la+bil。V=l?l=lzl=0o 应当理解:10向量可以平移，只有位置向量。？零向量除外可以与点Z(a,b)以及复数z=a+bi有一一对应的关系。20 两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。 例题选讲:例1.实数 m 取何值时，复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。解：(1)当m2-3m+2=0 即m=1或m=2时，z为实数；(2) 当m2-3m+20 即ml且m工2时，z为虚数；(m2 - 3 - 2 = 0(3) 当即m=-1时，z为纯虚数。
3、例2.已知复数z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (mUR)若殳所对应的点在第四象限，求m的取值范围。解:*/ z =(3m2-5m+2)-(m-1)i解得 m1。mU(l,+w)为所求。例 3.已知方程 2x2-(2i-1)x+m-i=0 有实根，求实数 m。 解:设实根为 x0, 则 2x02-(2i-1)x0+m-i=0,即 2x02+x0+m-(2x0+1)i=0k-l解得m=0为所求。例4.已知Z=3-4i, z2=2-x-l+4i(xUR),且闯三引，求x的取值范围。解:皆J八日)l引丿旷-小平-20例5.设zUC,满足条件l|z|2且-1I(z)z2B、zi=z2z2=虚数，
4、贝I（Z+Z2）UR,充分不必要条件B、必要不充分条件D、不能比较大小ziz2且（Z-Z2）U纯虚数是z1与z2共轭的（）条件既不充分也不必要条件D、充要条件5设z为虚数，条件甲：是实数，条件乙：lzl=l，则（）A、甲是乙的必要条件B、甲是乙的充分条件C、甲是乙的充要条件D、甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件答案与解析答案：1、 A 2、 A 3、 B4、 D5、 C解析：4-3;丄(_歩)1.(2 + 孑+ (1-厅(cos 240 +;sin 24O0)34-3z *3 + 4z (cos315 +;sin 3150)6-2S厉 +cos(T170 )+isin(T170 )=-i
5、-i=-2i。故本题应选A。2.单位圆上8个点，两点之间距离为J2 一庞。故本题选A。3. z = 1+z1 + ?14. ：Z, zf 虚数, 设 z =a+bi， z =c+di12I + JI + Z2。故本题应选B。z1， z2 都是虚数(b， dHO), z+z =(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i12由已知，得(zjz?) UR, 得 b+d=0， b=-d。 又 V z -z =(a+bi)-(c+d)i=(a-c) + (b-d)i,12V 0严2)U 纯虚数,即 a-c=0, a=c,:、巳、与 z2 共轭。 如果 z 与 z 是共轭复数，那么
6、z =a+bi, z 二a-bi, z+z=2aUR, z-z=2bi, *.*b0,1 2 1 2 1 2 1 2.zi-z2为纯虚数综合，知，本题应选择D。5.依据复数的概念及模长公式设z=a+bi （a，b为实数，且bHO）,1*h则 z+ 二a+bi+总 + 加=（a+说 +心）+ （b说 +“ ）i若 |z|=l,贝 I=1，即 a2+b2=1，于是 b-小 +沪二b-b=O,=2a o=1, b 若z+乞为实数，则b-卅+沪=b（1-盼+护）=0即a2+b2=1,. |z|=1。由、知甲是乙的充要条件，故本题应选Co虚数形成的历史1484年，舒开（Nicolas Chuquet,生
7、卒年份不详，法国学者）在算术三篇一书中，解二次方程x = - + （2-4,4 +存=鬼,得根为他声明这根是不可能的。1545年，卡当（Girolamo Cardano, 1501 一1576年，意大利学者）在他所著大术一书中，列出并解出“把10分成两部分，使这两部分的积为40”的问题，方程是x（10-x）=40,他求得的根为5+旷再与5-旷氏。在同一本书中，卡当发表了他的解一元三次方程x3+px+q=0（p, q都是实数）的著名公式:但根据这个公式解方程时，却产生了一个当时意料不到的困难。例如在解方程x3=15x+4时，由上面公式得：可是这个方程显然可以被4和另外两个实数值（知道原方程x3-
8、15x-4=0的一个根为x=4后，运用除法或因式 分解，把x3-15x-4化成x-4与一个二次三项式的积，利用一元二次方程求根公式，很容易求出原方程的另外两 个实数根）所满足。这一切令人十分困惑，以致卡当说，一定有一种新型的数（复数）存在。1637年，笛卡儿在几何学一书中，第一次给出虚数的名称hmaginaires”（虚的），和“realles”（实的）相对。1777年，欧拉（Leonhard Euler, 17071783年，瑞士数学家）在递交给彼德堡科学院的论文微分公式中， 首次使用i2来表示-1。真正作出虚数合理解释的是未塞尔（Caspar Wessel, 17451818年，挪威学者）
9、。1797年，未塞尔向丹麦科 学院递交论文方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定，其中用+1 表示正方向的单位，+ 2表示另一种单位，方向与前者垂直且有相同的原点文中并有匚及cosv+csinv等记法。 除了虚数单位的符号不同之外，和现代表示法一致。高斯在1799年已规定了复数的几何表示，但直到1831年才作出详细的说明。他主张用有序实数对（a, b） 来代表 a+bi,这样，复数的和与积都可以用纯代数的方法来定义，无需作几何解释。随着生产的发展，复数在数学和其他有关科学技术中日益起着巨大的作用，在十九世纪中叶以后，对复数 的研究已逐渐发展成为一个庞大的数学分支复变函数论。分类讨论的
10、思想方法分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在人的思维发展中有着重要的作用。因此在近年来的高考试题中，把它列为重要的思想方法之一来考查。下面将系统地介绍分类讨论的思想。内容概要 分类讨论的逻辑思维程序可用上面的方框图表示。(1) 分类定义：设符合一定条件的全体对象组成集合A,按对象的某一性质P,将A分成若干个真子集 A ， A ， ， A ，满足：1 2 n a=a.；i A.nA. (iji,j=l,2,.,n),则称 A, A2，A“ 是集合 A 的一个分类。“按对象的某一性质P”就是分类标准。条件A=*A|(i=l,2,n)要求集合A中的全体对象一个也不遗漏。条件A.nA.
11、3 (ij,i,j=l,2,n)要求集合A中的每一个对象划分后所属的A.是唯一确定的。有些问题一次分类仍不够，可对A.(i=l,2,n)再进行分类；这就构成对A的二级分类，依此类推，可以 有三级分类，四级分类1(2) 分类原则：由分类的定义可以知道，分类讨论时必须遵循如下原则。 施行分类的集合的全域必须是确定的； 每一次分类的标准必须是同一的； 分类必须是完整的，不出现遗漏； 各子集域必须是互斥的，不出现重复； 如需多次分类，必须逐级进行，不得越级。(3) 分类方法：用分类讨论的思想解答数学问题，一般是按如下过程操作。 明确讨论的对象，确定对象的全体； 确定分类标准，正确进行分类； 逐类进行讨
12、论，获得阶段性的结果； 归纳小结，综合出结论。(4) 有关分类讨论的数学问题：需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题，引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种：涉及的数学概念是分类定义的； 运用的数学定理、公式，或运算性质、法则是分类给出的； 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； 数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果的； 较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。有关分类讨论思想的数学题之所以在高考试题中占有重要位置，是由于其具有明显的逻辑性、综合性、探 索性的特点，能体现“着重考查数学能力”的要求。从培养人的角度来看，这类数学问题对于训练思维的条理性 和深刻性有着重要的作用。例1：设aR,在复数集C中解方程z2+2lzl=a。分析：本题是典型的用分类讨论解方程的问题。一般地，设z=x+yi代入原方程，由于有2xy=0,首先分为x=0 或 y=0 两种情况；在设定一个变量为零的前提下，讨论另一个变量为正、为零、为负的情况；进而研究对 于不同的a值，方程的解的情况。解题过程用了三级分类。解：设z=x+yi,代入原方程得x2-y2+2十了 +2xyi=a于是有由(2)式知x=0
