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1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）uuur uuur uuur r v uuur uuur uuur r r uuur rOB = OA + AB = a + b ；BA = OA OB = a b .OP 二九a（九 g R）运算律：加法交换律：a + b = b + a加法结合律：（a + b） + ?=戸+ （b+ C）数乘分配律
2、：九（乎+ b =九护+九罗运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b工0）, a/b存在实数入，使 a=x b。（3）三点共线：A、B、c三点共线 = AB =九AC二OC = xOA + yOB （其中 x + y = 1）aa（4）与共线的单位向量为土 =a4. 共面向量1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向
3、量a,b共面的条件是存rrr在实数x, y使p = xa + yb（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面=AP = xAB + yAC OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1）rrr5. 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量P,r r r r存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使P = xa + yb + zc。r rr r r r r r r若三向量仏b，c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基 向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O, A,B,C是不共面的四点，则对空间任
4、一点P，都存在唯一的三个有x, y, zuuur uuur uuur uuur序实数 y，z，使 OP = xOA + yOB + zOC。6. 空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使OA = xi + yi + zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注:点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，
5、其余的分坐标均相反。在y轴上的点 设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交r r r_”_=（x,y,z）基底，用仏j，k表示。空间中任一向量a = xi + yj + zk3）空间向量的直角坐标运算律：rrr r若a =（,a2,a3） , b =件冬伸，则 a + b =呵 + ba2 + b2,a? + 叮r rra b = （a b , a b , a b ）九a =（九a ,九a ,九a ）（九 e R）112233 ，123，rra-b = ab + a b + a b11 2 2 3 3rra
6、b O1 =叫,a2 哼 a3 =Xb3（XE rra 丄b oab + a b + a b = 0o112 23 3uuur若 A人,zi） , B（x2,2, Z2），则 AB = （X2 - X1, y2 yi, Z 2 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减 去起点的坐标。定比分点公式：若Aq，y1,z1）, B（x2,y2,z2）, ap=九pb，则点p坐标为 /X +Xx y +Xy z +Az、（ik,_Jik）。推 导： 设 P （ z ） 则 （xx, yy1，zz1）=x （x2 x, y2，z2 z），显然，当 p 为 ab 中点时，P(斗,
7、斗,耳)2 2 2 AABC中, A（x J 人,.），Eg，y2, Z2），C（X3, y3,3），三角形重心 P 坐标为P( X1 + X2 + X3 , y + y2 + y , Z1 + Z2 + Z3 )3 22AABC的五心内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点AP = x (单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PA = PB = PC垂心P：高的交点：PA-PB = PA-PC = PB-PC （移项，内积为0,则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP二1（AB+AC）中心：正三角形的所有心的合一。rb=(b,b ,b)，123r模长公式：若a = （a ,
8、a , a ），123r则 | a |=r2 + a 2 + a 2| b |=232 + b 2 + b 2235)夹角公式：rr叭a.张亠/ I a I -1 b Ia b + a b + a b.112 二3 3一：a 2 + a 2 + a 2 Jb 2 + b 2 + b 2123123AABC中AB AC 0 A为锐角AB AC 0 A为钝角，钝角厂.uuur.rm贝山 AB I=： AiB2 7X2 - I + (y2 - yi)2 + (Z2 - Z1)2，6)两点间的距离公式：若 A(x ,y ,z )，B(x , y ,z )，1 1 1 2 2 2或d =、A, B(X2
9、 - 1)2 + (y2 - yi)2 + (Z2 - Z1)27. 空间向量的数量积r(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量rb，在空间任取一点o，作 uuur r uuur rr rOA = a，OB = b，则ZAOB叫做向量I与b的夹角，记作 ；且规定 rrr r r r rr a, b 兀，显然有= ；若=，则称a与b互相垂直，2rr记作：a丄b。 向量的模：设OA=方，则有向线段OA的长度叫做向量才的长度或模，记作:rIaI积，r r r r(3)向量的数量积：已知向量&b，则1 a 1 -1 b 1 -COS 叫做a,b的数量 r r r r r r记作 a b，即 a b
10、 =1 a 1 -1 b 1 - cos。4）空间向量数量积的性质：=0 丨 a I2 = a - ara （交换律）。r r r r r r r r r a - e =1 a I cos 。 a 丄 b o a *b5）空间向量数量积运算律：rr r r r(Xa) - b = X (a - b) = a -(九b)。 a - b = br r r r r r r a - (b + c) = a -b + a -c (分配律)。不满足乘法结合率：（a *b）c丰a（b -c）二空间向量与立体几何1线线平行o两线的方向向量平行1- 1 线面平行 o 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行
11、o两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）o两线的方向向量垂直2- 1线面垂直o线与面的法向量平行2- 2面面垂直 o 两面的法向量垂直3线线夹角9 （共面与异面）00,90。 o两线的方向向量n,的夹角或夹角的补角,COS 9COS n1, n 23- 1线面夹角9 0。,90。:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向 量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，贝U取其补角；再求其余角，即是线面 的夹角.sin 9 二 cos AP, n3- 2 面面夹角（二面角） 9 0。 ,180。 ：若两面的法向量一进一出，贝二面角等于lr lr两法向量耳，n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. cos9 = cos = 45o切记！例5.长方体ABCD-ABCD中,AB二BC二4 , E为AC与BD的交点,F为BC与1 1 1 1 1 1 1 1 1BC的交点，又AF丄BE,求长方体的高BB11模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ,连结AC,BD ,设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列 各表达式，并标出化简结果向量：Ab + BC + CD ；uuur 1 uuur uuuruuur 1 uuur uuur
