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1、初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。绝对值有两个意义：(1)代数意义：非负数(包括零)的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|=a(当a0),|a|=a(当a0；(2)|ab|=|a|b|；(3)|a/b|=|a|/|b|(bwO)(4)|a|b|a+b|a|+|b|；(5)|a|b|ab|a|+|b|；思考：|a+b|=|a|+|b|,在什么条件下成立？|ab|=|a|b|,在什么条件下成立？常用解题方法：(1) 化简绝对值：分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数
2、和负数两种情况)(2) 运用绝对值的几何意义：数形结合思想,如绝对值最值问题等。(3)零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：(1)|ab|cb|解：a0ab0cb0故，原式=(ba)(bc)=ca(2)|ac|ac|解：a0,c0ac要分类讨论，a+c0时，ac，原式=(ac)+(a+c)=2a当ac0时，ac，原式=(ca)+(a+c)=2c2、设x1，化简2|2|x2|。解：x1.x20原式=2|2(2x)|=2|x|=2x3、设3a
3、4，化简|a3|+|a6|。解：t3a0，a60时，ab,|ab|=ab,由已知|ab|=a+b,得ab=a+b,解得b=0，这时a0；当abvO时，avb,|ab|=ba,由已知|ab|=a+b，得ba=a+b,解得a=O,这时b0；综上所述，(1)是正确的。第二类：考察对绝对值基本性质的运用5、已知2011|x1|+2012|y+1|=0,求x+y+2012的值？解：Tlx1|0,|y+1|02011|x1|+2012|y+1|0又t已知2011|x1|+2012|y+1|=0,.|x1|=0,|y+1|=0 x=1,y=1,原式=11+2012=20126、设a、b同时满足：(1) la
4、2bl+lb1l=b1(2) la4l=0那么ab等于多少？解：Tla2bl0,lb1l0la2bl+lb1l=b10 (1)式=|a2b|+b1=b1,得|a2b|=0,即a=2bTla4l=0a4=0,a=4ta=2bb=2,ab=4x2=87、设a、b、c为非零有理数，且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|c=0,请化简：lblla+bllcbl+lacl。解:t|a|+a=0,awOa0,bw0,a0,cb0,ac0原式=b+(a+b)(cb)+ca=b&满足|ab|+ab=1的非负整数(a,b)共有几对？解：ta,b都是非负整数|ab|也是非负整数，ab也是非负整数要满足|ab|+
5、ab=1,必须|ab|=1,ab=O或者|ab|=0,ab=1分类讨论：当|ab|=1,ab=O时，a=0,b=1或者a=1,b=0有两对(a,b)的取值；当|ab|=O,ab=1时，a=1,b=1有一对(a,b)的取值；综上所述，(a,b)共有3对取值满足题意。9、已知a、b、c、d是有理数，|ab|W9,|cd|16，且|abc+d|=25,求|ba|dc|的值？分析：此题咋一看无从下手，但是如果把ab和cd分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|xy|S|x|+|y|即可快速解出。解：设x=ab,y=cd，则|abc+d|=|x-y|S|x|+|y|t|x|9,|y|16|x|+|y
6、|25,|x-y|x|+|y|25t已知|x-y|=25|x|=9,|y|=16 lballdcl=lxllyl=lxllyl=916=7第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论10.我们知道Iz|=jX沪?，我们可以用这V论来化简含有绝对值的代数式，如l-x(x0)it简代数式丘一1|十|工十2|时，可令工一1=0和工十2=6分别求得zk=Lk=-2我们就称1和-2分别为|k11和|x+2|的零点值。在有理数范圉内，零点值：s=l和s=-2可将全陳有理数分成不重复且不遗漏的三个区间，然后进行分类讨论如下；#(1) 当愛茎-2时，原式=一(K1)Ck+2)=2s-lrJ(2) 当-QV
7、ic茎1时，原式=(k1)+(x+2)=3(2)当工=1时！原式=(x1)+(x+2)2x+l|(2藍一1(X-2)综上讨论，原式=-3(-2:il)以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。根据以上材料解决下列问题：(1) 化简：2|x2|x+4|(2) 求|x1|4|x+1|的最大值。解：(1)令x2=0,x+4=0,分别求得零点值：x=2,x=-4，分区段讨论：当x2时，原式=2(x2)(x+4)=x8综上讨论，原式=.(略)(2)使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。令x1=0，x+1=0,
8、分别求得零点值：x=1，x=-1，分区段讨论：当x-1时，原式=(x1)+4(x+1)=3x+5，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1x1时，原式=(x1)4(x+1)=3x+3，此时无最大值。综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。11、若2x+|45x|+|13x|+4的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。即原式=2x+|5x4|+|3x11+4令5x4=0，3x1=0，分别求得零点值：x=4/5,x=1/3,分区段讨论：当XS1/3时，原式=2
9、x(5x4)(3x1)+4=6x+9,此时不是恒值；当1/3x4/5时，原式=2x+(5x4)+(3x1)+4=10x1,此时也不是恒值。综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7。12、若|a|=a+1,|x|=2ax,且|x+1|+|x5|+2|xm|的最小值是7,则m等于多少？解：当a0时，|a|=a=a+1,得到0=1矛盾二a0,|a|=a=a+1,解得a=1/2。|x|=2ax=x,即x的绝对值等于它的相反数x0令x+1=0,x5=0,xm=0,分别求得零点值：x=1,x=5,x=mx0,则x取值范围分成x1和一1x0当x1,原式=(x+1)(x5)2(xm)=4x+4+2m,x=1时
10、取到最小值8+2m当一1x0时，最小值是6+2m,令6+2m=7,得m=0.5，符合题意(2) 若一1m0,则x取值范围分成x1和一1xm和mx0当x1,原式=(x+1)(x5)2(xm)=4x+4+2m,x=1时取到最小值8+2m,因为一1m6当一1xm，原式=(x+1)(x5)2(xm)=2x+6+2m,x=m时取到最小值6所以当一1m0时，最小值是6,和题意不符。(3) 若m1,则x取值范围分成xm和mx1和一1x0当xm，原式=(x+1)(x5)2(xm)=4x+4+2m,x=m时取到最小值42m当mx1,原式=(x+1)(x5)+2(xm)=42m，这时为恒值42m当一1x0,原式=
11、(x+1)(x5)+2(xm)=2x2m+6,无最小值所以当m1时，最小值是42m,令42m=7,得m=1.5，符合题意综上所述，m=0.5或一1.5。第四类：运用绝对值的几何意义解题1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示x的点到原点的距离，即|x|=|x0|x1|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示1的点的距离，|x+2|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示一2的点的距离，|ab|的几何意义是在数轴上表示a的点到表示b的点的距离。2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点,当动点处在最中间那个点的位置时,它到所有点的距离之和最小。如果有偶数个点,当动点处在最中间的两个点之间时,它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆,就是奇中偶范。即奇数个点时,取最小值是在最中间的点。偶数个点时,取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。#
