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1、（2019年安徽23题）23（14分）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3【分析】（1）利用等式的性质判断出PBCPAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出RtAEPRtCDP，得出，即h32h2，再由PABPBC，判断出，即可得出结论【解答】解：（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PA
2、BPBC（2）PABPBC在RtABC中，ABAC，PA2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2PABPBC，即：h12h2h3【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD是解本题的关键（2019年北京27题）27（7分）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线
3、段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明【分析】（1）根据题意画出图形（2）由旋转可得MPN150，故OPN150OPM；由AOB30和三角形内角和180可得OMP18030OPM150OPM，得证（3）根据题意画出图形，以ONQP为已知条件反推OP的长度由（2）的结论OMPOPN联想到其补角相等，又因为旋转有PMPN，已具备一边一角相等，过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，即可构造出PDMNCP，进而得PDNC，DMCP此时加上ON
4、QP，则易证得OCNQDP，所以OCQD利用AOB30，设PDNCa，则OP2a，ODa再设DMCPx，所以QDOCOP+PC2a+x，MQDM+QD2a+2x由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MHMQa+x，DHMHDMa，所以OHOD+DHa+a+1，求得a1，故OP2证明过程则把推理过程反过来，以OP2为条件，利用构造全等证得ONQP【解答】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N
5、作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH+1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中OCNQDP（SAS）ONQP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构
6、造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP（2019年北京28题）28（7分）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出
7、t的取值范围【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角AEP满足90AEP135；根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE
8、垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPM
9、AE，AE3，即3，解得：t，t00t【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题（2019年福建24题）24（12分）如图，四边形ABCD内接于O，ABAC，ACBD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DFDC，连接AF、CF（1）求证：BAC2CAD；（2）若AF10，BC4，求tanBAD的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180BAC）90BAC，ADB90CAD，从而得到BACC
10、AD，即可证得结论；（2）易证得BCCF4，即可证得AC垂直平分BF，证得ABAF10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tanBAD的值【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，ABCADB，ABC（180BAC）90BAC，BDAC，ADB90CAD，BACCAD，BAC2CAD；（2）解：DFDC，DFCDCF，BDC2DFC，BFCBDCBACFBC，CBCF，又BDAC，AC是线段BF的中垂线，ABAF10，AC10又BC4，设AEx，CE10x，由AB2AE2BC2CE2，得100
11、x280（10x）2，解得x6，AE6，BE8，CE4，DE3，BDBE+DE3+811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题（2019年甘肃兰州27题）27（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABCDAE，进而得到ACDE，BCAE我
12、们把这个数学模型成为“K型”推理过程如下：【模型应用】如图，在RtABC内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DEAC于点E，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F（1）求证：AD是O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB求证：FG2GOGB【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为O直径，故只需证ADAB即可由ABC+BAC90和DAEABC可证得DAE+BAC90，而E、A、C在同一直线上，用180减去90即为BAD90，得证（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2GOGB联想到对应边成比例，所以需证FGOBGF其中FGOBGF为公共角，即需证FOGBFGBFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有BFGBOC，问题又转化为证FOGBOC把DO延长交BC于点H后，有FOGBOH，故问题转化为证BOHBOC只要OHBC，由等腰三角形三线合一即有BOHBOC，故问题继续转化为证DHCE联系【模型呈现】发现能证DEAACB，得到AEBC2，ACDE1，即能求ADAB又因为O为AB中点，可得到，再加上第（1）题证得BAD90，可得DAOAED，所以ADOEAD，DOEA，得证【解答】证明：（1）O为RtABC的外接圆O为
