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1、高二数学异面直线练习题一、 选择题：1. 已知是异面直线，直线直线，那么与 A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2. 空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边 形是 A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形3. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心， 分别是的中点那么异面直线和所成角的余弦值为 A. B.C.D.4. 空间四边形中，分别是和的中点，, 则和所成的角是 A.B.C.D.5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的 矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为A BC D6.已知三棱柱的
2、侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A.B.C.D.7.已知正三棱柱中，若，则异面直线 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5 与所成的角为 A. B. C. D. 二、 填空题：8. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该 几何体的侧面积为_cm2. 9. 在正方体中，是中点，是的 中点，则直线与所成角的大小为_.ABCDE10. 如图，四面体中，为中点，若， ，则与所成角的余弦值为_.11. 在空间四边形,分别是的中点, ,则与所成的角的大小是_.12. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于
3、_.13.已知是直三棱柱，点分别是，的中点， 若，则与所成角的余弦值是_.三、 解答题：14.如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点，求异面直 线和所成的角的余弦值.15.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，分别BMACNC1A1B1 是和的中点求与所成角的余弦值.BMANCS16.是正三角形所在平面外的一点，如图，且，分别是和的中点.求异面直线与所成的角的余弦值.17.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积 为，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.（第17题）参考答案1A【解析】解：因为直线与平面所成的角为30，为空间一定点，过作与、
4、所成的角都是45的直线，则这样的直线可作2条，选A2C【解析】解：取AC中点G，连接EG，GF，FC，设棱长为2，则CF= 3 ，而CE=1，EF= 2 ，GE=1，GF=1而GESA，GEF为异面直线EF与SA所成的角，EF= 2 ，GE=1，GF=1GEF为等腰直角三角形，故GEF=45，故选C3B【解析】解：连接BF，可证AC平面VBF。DEAC，所以DE与PF所成的角的大小为904B【解析】解：取BC的中点G连接GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE= ，HE= ，OH= 由余弦定理，可得cosOEH=故选B5B【解析】解：如图所示：
5、取BD的中点G，连接GM，GN空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，故MG是三角形ABD的中位线，GN是三角形CBD的中位线，故EGF（或其补角）即为AD与BC所成的角MGN中，MN=，由余弦定理可得 18=32+32-2cosMGN，cosMGN=0，MGN=90，故AD与BC所成的角为90，故答案为选B6C【解析】解：取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF= ，而CE=1EF= ，GE=1，GF=1而GESA，GEF为异面直线EF与SA所成的角EF= ，GE=1，GF=1GEF为等腰直角三角形，故GEF=45故选C7D【解析】解：设BC的中点为D
6、，连接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|= ，|A1D|=，|A1B|= ，由余弦定理，得cos= =故选D8A【解析】解：连接D1F1，取BC中点M，四边形BMF1D1平行四边形，所以：MF1BD1，故F1A与F1M成锐角或直角是异面直线BD1和AF1成角设BC=CA=C1C=1，则AM= ，MF1= ，AF1=5/ 4 ，所以：cosMF1A=AF 1 2+MF 1 2-AM 2 /2AF 1MF 1 = 即BD1和AF1成角余弦值为 9C【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想
7、象与计算能力延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EC1B为600，故选C10B【解析】11【解析】解：因为直线在平面ABB1A1内的射影与直线垂直，因此利用三垂线定理以及逆定理可知所求的角为【答案】90【解析】方法一：连接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以，DN平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DNA1D1，故夹角为90方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,
8、1,0）A1（2,0,2）故，所以，cos = 0,故DND1M，所以夹角为90点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.13【解析】略14（1） ； （2） 。【解析】正方体易建立空间直角坐标系，写出点的坐标.（1）求出向量，把异面直线和所成的角的余弦值转化为向量，夹角的余弦值的绝对值；（2）求出平面BDD1的与平面BFC1的一个法向量，把平面与平面所成的锐二面角的余弦值转化为两法向量的夹角的余弦值的绝对值.（1）以D为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系如图，则， 6分 异面直线和所
9、成的角的余弦值；7分（2）平面BDD1的一个法向量为设平面BFC1的法向量为取得平面BFC1的一个法向量， 14分所求的余弦值为 16分15（1）（2）【解析】略16（1）证明： CE面PAB. （6分）(2) （12分【解析】（1）证明：取PA中点F,连结EF,BF,E为PD中点，EFAD,且EF=AD,又BCAD,BC=AD,EFBC,EF=BC,四边形BCEF为平行四边形，CEBF,CE面PAB, BF面PAB,CE面PAB. （6分）(2)由（1）CEBF,FBA（或其补角）即为CE与AB所成角，设PA=AB=，则在RtBAF中，AF=，BF=，cosFBA=,CE与AB所成角的余弦值为（12分17（1） ；（2）. 【解析】本试题主要是考查了棱锥的体积和异面直线的所成角的余弦值的求解的综合运用。（1）因为根据已知条件中圆柱的表面积和长度和角度问题可知得到锥体的底面的面积的求解以及最终的体积的表示。（2）因为异面直线的所成的角一般通过平移得到，那么平移后的夹角为所求的异面直线的角。解： （1）由题意，解得. -2分 在中，所以 -3分在中，所以 -4分 -5分 -6分（2）取中点，连接，则，得或它的补角为异面直线 与所成的角. -8分 又，得， -10分 由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值是.-12分
