《2023届高三一轮复习数学精品资料：2.3-函数的单调性与最大(小)值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高三一轮复习数学精品资料：2.3-函数的单调性与最大(小)值（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 函数的单调性与最大小值根底自测1.函数y=f(x)是定义在R上的增函数，那么f(x)=0的根 A.有且只有一个 B.有2个C.至多有一个 D.以上均不对答案C2.2023保定联考f(x)是R上的增函数，假设令Fx=f1-x-f1+x，那么Fx是R上的 A.增函数 B.减函数C.先减后增的函数 D.先增后减的函数答案B3.假设函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间-，1上是减函数，那么a的取值范围是 A.-3，-1 B.-，-3-1，+C.1，3 D.-，13，+答案C4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、cR，那么a2-3b0时，f(x)是 A.增函数 B.
2、减函数C.常数函数D.单调性不确定的函数答案A5.2023成都检测函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上最大值为3，最小值为2，那么m的取值范围为 A.1，+ B.0，2C.-，-2 D.1，2答案D例1 函数f(x)=ax+ (a1).证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.证明 方法一任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,那么x2-x10,1且0,，又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函数f(x)在-1,+上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-(a1),求导数得=axlna+,a1,当x-1时，axlna0,0,0在-1，+上恒成立，那么f(
3、x)在-1,+上为增函数.方法三a1,y=ax为增函数，又y=，在-1，+上也是增函数.y=ax+在-1，+上为增函数.例2 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解 函数的定义域为x|x-1或x1,那么f(x)= ,可分解成两个简单函数.f(x)= =x2-1的形式.当x1时，u(x)为增函数，为增函数.fx=在1，+)上为增函数.当x-1时，ux)为减函数，为减函数，f(x)=在-,-1上为减函数. 例3 求以下函数的最值与值域：1y=4-; (2)y=x+;(3)y=.解 1由3+2x-x20得函数定义域为-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0，4，0，2，从而，当x=1
4、时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为2，4. (2)方法一函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时的最值.当x0时,y=x+2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x0时，y-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为-，-44，+，无最值.方法二任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0x2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为-，-44，+，
5、无最大小值.3将函数式变形为y=,可视为动点Mx,0与定点A0，1、B2，-2距离之和，连结AB，那么直线AB与x轴的交点横坐标即为所求的最小值点.ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.显然无最大值.故值域为，+.例4 (12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.1求证：f(x)是R上的增函数；2假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解1设x1,x2R，且x1x2,那么x2-x10,f(x2-x1)1. 2分f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x
6、1)=f(x2-x1)-10. 5分fx2f(x1).即f(x)是R上的增函数.6分2f4=f2+2=f2+f2-1=5，f2=3，8分原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 10分解得-1m,故解集为-1,. 12分1.讨论函数fx=x+a0的单调性.解 方法一显然fx为奇函数，所以先讨论函数fx在0，+上的单调性，设x1x20,那么f(x1)-f(x2) =x1+-x2+=(x1-x2)1-.当0x2x1时，1,那么fx1-fx20，即f(x1)f(x2),故fx在0，上是减函数.当x1x2时，01，那么fx1-fx20,即f(x1)f(x2
7、),故fx在，+上是增函数.fx是奇函数，fx分别在-，-、，+上为增函数；fx分别在-，0、0，上为减函数.方法二 由=1-=0可得x=当x或x-时，0fx分别在，+、-，-上是增函数.同理0x或-x0时，0即fx分别在0，、-，0上是减函数.2.求函数y=4x-x2的单调区间.解 由4x-x20，得函数的定义域是0，4.令t=4x-x2，那么y=t.t=4x-x2=-x-22+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4，增区间是0，2.又y=t在0，+上是减函数，函数y=4x-x2的单调减区间是0，2，单调增区间是2，4).3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mfx=fx+1
8、-fx.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产xx0台的收入函数为Rx=3 000x-20x2 (单位：元)，其本钱函数为Cx=500x+4 000单位：元，利润是收入与本钱之差.1求利润函数Px及边际利润函数MPx；2利润函数Px与边际利润函数MPx是否具有相同的最大值？解 1Px=Rx-Cx=3 000x-20x2-500x+4 000=-20x2+2 500x-4 000x1，100且xN,MPx=Px+1-Px=-20x+12+2 500x+1-4 000-20x2+2 500x-4 000=2 480-40x x1，100且xN.2Px=-20(x-2+74 125，当x=62
9、或63时，P(x)max=74 120元.因为MPx=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元.因此，利润函数Px与边际利润函数MPx不具有相同的最大值.4.2023广西河池模拟定义在区间0，+上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.1求f(1)的值；2判断f(x的单调性；3假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解 1令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.2任取x1,x2(0,+)，且x1x2,那么1,由于当x1时，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)
10、f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.3由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间0,+上是单调递减函数，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或x-9.一、选择题1.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 A.-, B.，+ C.-1，D.，4答案D2.函数fx在区间a，b上单调，且fafb0，那么方程fx=0在区间a，b上 A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根D.必有惟一的实根答案D3.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R
11、,那么m的取值范围是 A.m1B.m1C.m1D.mR答案C4.函数f(x)(xR)的图象如以下图所示，那么函数g(x)=f(logax) (0a1)的单调减区间是 A.0, B.-,0，+C.,1 D.,答案C5.f(x)=是-,+上的减函数，那么a的取值范围是 A.0，1 B.0，C.，D.，1答案C6.函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x.构造函数y=F(x),定义如下：当f(x)g(x)时，F(x)=g(x);当f(x)g(x)时，F(x)=f(x),那么F(x) ( )A.有最大值3，最小值-1 B.有最大值3，无最小值C.有最大值7-2，无最小值 D.无最大值，也无最小值答案 C二、填空题7.y=f
