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1、“鸽巢问题 ”教学设计珠海市香洲区第一小学 苏保诚【教学内容】义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第68-69页。【教材分析】鸽巢问题既鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。通过枚举法，使学生探索出把四支笔放在3个笔筒里共四种放法，在具体操作中理解“总有”和“至少”。通过假设法让学生探索出“平均分”是保证“至少”的最好方法，在解决抽屉原理时要采取最不利原则。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至
2、少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。再者，适当把握教学要求。我们的教学不同奥数，因此在教学中不需要求学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样
3、的一种存在现象：不管怎样放，总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。第二个例题是在例1的基础上说明：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。【学情分析】 对于六年级的学生来说，有一定的抽象思维能力，所以不易过多地采用枚举法，在开始探索阶段可以采用，但在课的后阶段要重点发挥学生地
4、抽象思维能力，通过学生的不断练习和深化促进“模型化”，形成解决鸽巢问题的一般解法。在教学中我们会发现有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体分得过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有接触，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。我们也应该看到有个别学困生对于本节课的学习确有相当在的困难。这就要求教师在设计和教学中恰当引导，发挥合作学习的作用，顺利完成本节课的任务，让学生们一起成长。【教学目标】1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含
5、义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 【突破方法】 从特殊的例子到一般的例子，让学生逐步理解鸽巢原理，并建立起数学模型。【难点】 理解鸽巢原理，并对一些简单的问题加以“模型化”。【教学重点】1.经历“雀巢原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。2.理解“雀巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教法】 教师指导下的自主探究，进行“建模”教学。【学法】 学生通过动手
6、操作、交流探究、建立模型理解鸽巢原理。【教具、学具准备】智慧教室一间，分11个小组，每组3只纸杯、4只铅笔、课件。【教学过程】 一、谈话引入新课。师：同学们，老师手里有一副扑克牌，老师就用这副扑克牌和同学们一起做一个游戏好不好？老师这副扑克牌里的大王、小王都已经抽掉了，还剩多少张？想一想，还剩下几种花色？老师把它写下来，有梅花、红桃、黑桃、方片。下面我把游戏规则说一下：如果你抽到你想要的花色，就算你赢，听明白了吗？（听明白了）请问你想要什么花色？我想要黑桃。学生抽牌。师：他抽到的是红桃。请问你想要什么花色？上面四个同学都没有抽到自己想要的花色。如果同学们给老师一个机会，老师敢说第一次就能赢，相
7、信不相信？现在我请5位同学参与我这个游戏。请你们每人抽一张牌，不要让老师看见了。老师现在还需要一个记录员，谁来当？老师敢说：至少有一个花色是重复的，相信不相信？生：不相信。现在我们验证一下。有的同学说是巧合，再找5个同学试一试。这两次游戏老师轻松取得了胜利，你们想不想知道其中的奥秘？今天学习了抽屉原理，也就是鸽巢问题，它能够帮助我们揭开谜底，找到答案。出示课题：鸽巢问题（抽屉原理）。鸽巢问题是一个复杂的问题，我们进行一个复杂的研究往往从简单的问题入手。下面我们分小组进行探究实践活动。二、通过操作，探究新知（一）教学例11枚举法（1）第一个探究活动。活动内容：把4枝铅笔放进3个笔筒里。活动目的：
8、无论怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支笔。（课件显示）（2）我们的活动目的是什么？你认为哪些词语非常重要？学生：“总有”和“至少”师：他们是什么意义？生：“总有”表示“一定有”、“ 肯定有”等“至少”表示“最少”、“ 最起码”。（3）强调不考虑放入的顺序我们把4支铅笔放在第一个笔筒里，也可以放在第二个笔筒里，也可以放在第三个笔筒里。我们把这三种情况当做一种放法。咱们在探究时要注意：1、不考虑笔筒的顺序。2、组长把操作的结果记录下来，并拍照上传。出示 温馨提示：1、不考虑笔筒的顺序。2、组长把操作的结果记录下来，并拍照上传。现在我们在组长的带领下进行探究活动。（4）出示探究记录单 鸽巢问题探究
9、记录单第 小组，姓名： 把4支铅笔放进3个笔筒中。出现情况记录单第一种情况4（ 、 、 ）第二种情况第三种情况第四种情况无论怎样去放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。（5）学生分组活动。（运用智慧教室，要先分好组，指定组长）有几种不同的放法？请同学们分组活动，并及时把活动过程记录下来。（评测分组答题）下面开始小组活动。教师巡视，了解情况，个别指导.（6）学生汇报探究结果。通过“智慧教室”系统，展示各小组的“探究记录单”。(评测分组答题-答题结果-分享学生屏)。（7）哪个小组来展示一下你们小组摆放的情况？(评测分组答题-分享学生屏)共同分析（2，0,2），（2,2，0）（0,2,2），属于一种
10、情况。（8）根据学生摆的情况，老师按照一定顺序排列起来。板书各种情况。（4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）还有不同的放法吗？我们把这种放法，叫做枚举法，我们在五年级学习鸡兔同笼时采用过枚举法。（9）为了帮助同学们有序地思考，看看电脑博士是怎样分放的。电脑依次展示四种情况。第一种情况:把4支笔都放进一个笔筒里。第二种情况:先把3支笔放进一个笔筒里。第三种情况:先把2支笔放进一个笔筒里。第四种情况:每个笔筒先放1支笔。（10）教师带着学生分析每个笔筒里最多放了多少支？（4支）能不能说总有一个笔筒里至少有4支笔？最多放有4支笔，能不能保证至少是4支？最少放了多少支？（0支）
11、在每种放得最多的四个笔筒里最少几支？（2支）能不能说至少放了1支笔？（至少是最起码，最低限度的意思，总有一个笔筒里至少放了2支笔。）你发现了什么？（无论怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔）至少数是多少？（2）2、假设法遇到鸽巢问题是否一定要把各种情况采取枚举法一一列举出来？如果有100支铅笔把所有情况枚举出来将会非常麻烦。怎样才能最快地知道这个放的最多的笔筒里至少有几支笔？大家讨论讨论。学生讨论，汇报。生：先把3支铅笔分别放在三个笔筒里，剩下一个无论放在哪个笔筒里，总有一个笔筒放进两只笔。这是什么分法？（平均分）你从什么角度考虑的？电脑显示：从最不利的情况来考虑，先放入相同的最多数。相同的最
12、多数是什么？（平均数）至少数相当于从军官中挑选元帅。谁能再把自己的想法介绍给大家？刚才大家使用的方法就是假设法。讲解假设法的思维过程。假设每个笔筒里先放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支无论放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放2支笔。把上述利用“智慧教室”推到学生的平板上。（屏幕板书-推送板书学生在数学笔记）学生共同朗读，熟悉掌握算理。3、导入鸽巢问题我们把4枝铅笔换成4只鸽子，把3个盒子换成3个鸽巢，这就是我们要研究的鸽巢问题。出示：4只鸽子飞回3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进了（ ）只鸽子。谁能解答这个问题？学生抢答。（快捷-抢答权）学生回答后课件演示。4、商是1余数是1的练习（1）把5支笔放
13、进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（ ）支笔，为什么？指名回答。（快捷-抢答权）电脑显示假设法：假设每个笔筒里先放1支笔，最多可放4支。剩下的1支还要放进其中的一个笔筒里。所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔。填入黑板左面的副版书的表格上铅笔支数笔筒个数至少数54254=1 1652（2）把6支笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（ ）支笔，为什么？利用智慧教室抢答。（快捷-抢答权）（3）把10支笔放进9个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（ ）支笔，这是为什么？（快捷-抢答权）（4）把101支笔放进100个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放
14、进（ ）支笔，这是为什么？（快捷-随机选号）5、总结规律观察表格，有什么发现？只要放的铅笔数比笔筒的数量多1，总有一个笔筒里至少放进2枝笔。如果有n+1支笔放入n个笔筒里，会出现什么情况？把n+1个物体放进n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进2个物体。6、老师魔术的秘密一副牌，取出大小王，5位同学每人随意抽出一张。为什么至少有2张同花色的？学生解答，课件演示（二）教学例2，商是2的情况。刚才我们探究的是鸽巢问题的一种情况，下面探究探究鸽巢问题的另一种复杂情况。出示例2把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放（ ）本书。 （1）请同学们在学生平板教材中打开探究二，根据要求，进行拖动，找出答案。指名回答，展示学生的拖动过程。（屏幕互动学生屏幕）如何列式？73=21 2+1=3（支）至少数是什么？板书：至少数=商+余数（2）8本书放进3个抽屉里，会怎么样呢？8322师：至少数=商+余数=2+2=4，所以总有一个抽屉里至少放4本书。对不对？学生:老师我有不同意见，至少数是3，不是4。师：你能上来摆一摆吗？学生在讲台上边展示边讲解。至少数是：2+1=3。师：有没有可能是4？能不能保证是4本？那么，至少数应该怎样计算？原来是这么回事，看来板书也要改了。至少数=商+1.（3）如果10枝本呢？103=31 ，3+1=4 （4）如果有11支呢？（5）如果有12支呢？12 34
