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1、论文题目：矩阵的正定性及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月6日 矩阵的正定性及其应用摘 要： 矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例 关键字：矩阵 实矩阵 正定性 应用 Matrixs qualitative and its applicationAbstractMatrix is qualitative can fro
2、m solid matrix and complex matrix two aspects elaborated, due to complex matrix more tedious and some properties of complex matrix can have a matrix on get, so here is mainly expounds the matrix is qualitative and application. Based on the introduction of a matrix of the definition and is qualitativ
3、e identification method, simple cited some examples to described the application of matrix is qualitative.Key words: matrix； real matrix； qualitative； application 目录摘要-2Abstract-3一、二次型有定性的概念-5二、矩阵正定性的一些判别方法-5三、几个简单的例题-7四、 实矩阵正定性的一个简单应用-8结语-10参考文献-11致谢-12一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵之二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）
4、成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、 矩阵正定性的一些判别方法定理 1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4 为正定矩阵
5、的充分必要条件的正惯性指数定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵, 使.即合同。推论1 若为正定矩阵, 则.定理6 秩为的元实二次型, 设其规范形为则：(1) 负定的充分必要条件是且 (即负定二次型,其规范形为)(2) 半正定的充分必要条件是 (即半正定二次型的规范形为)(3) 半负定的充分必要条件是 (即)(4) 不定的充分必要条件是 (即)定义2 阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.注：(1) 若是负定矩阵，则为正定矩阵,。(2) 是负定矩阵的充要条件是：其中是的阶顺序主子
6、式.(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a. 对称矩阵是半正定（半负定）的;b. 的所有主子式大于（小于）或等于零；c. 的全部特征值大于（小于）或等于零. 三、几个简单的例题： 例1 设M是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵。证明：矩阵正定的充要条件: 对任意x不等于0向量,有XMX0，X(TI+M)X = TXX+XMX， 在所有的X中选一个X,使XMX的值最小,XMX = -MAX,其中 MAX0，而这时对应的XX的值为K,且K肯定大于0， 又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX0，即X(TI+M)X=TXX+XM
7、X0 故TI + M正定.例 2 设二次型 问l取何值时, f为正定二次型？ 解 f的矩阵为 f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零. 事实上, A的顺序主子式为： 于是, f正定的充要条件是且. 联解不等式组：可得. 当时, f正定. 四、 实矩阵正定性的一个简单应用 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.定义1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度.定义3 满足的点称为函数的驻点.定义4 称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理8(极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导
8、数，且为该函数的极值点，则.定理9(极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则 : (1)当为正定矩阵时，为的极小值; (2)当为负定矩阵时，为的极大值; (3)当为不定矩阵时，不是的极值。应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例3求三元函数的极值.解先求驻点，由 得所以驻点为.再求(Hessian)黑塞矩阵因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.结 语矩阵的正定性还有多种应用，在此就不一一列举.参考文献 1 王萼方 高等代数（第三版） 高等教育出版社2 陈公宁 矩阵理论与应用 北京: 高等教育出版社, 19903 陈大新 矩阵理论 上海: 上海交通大学出版社, 19974 孟道骥 高等代数与解析几何 科学出版社5 李宏伟等编 线性代数学习辅导与习题解析 科学出版社6 Gene Howard Golub &Charles F. van Loan Matrix Computation致 谢这篇耗时一个星期的论文终于写完,在电脑上敲下最后一个字的时候，我有一些成就感最后，感谢大学的生活!
