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1、数学必修4平面向量复习一基本概念:1.向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量零向量：长度为的向量2.单位向量：是模（长度）为1的向量，若其坐标为(x， y)，其中x，y满足x2+y2=1 3.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行，4.相等向量：长度相等且方向相同的向量5向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a=xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标，记作a= =(x，y)二、向量运算：向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则向量减法运算
2、：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则注意：正反思维：向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则平面向量的数量积：1向量的夹角：向量a和b，作=a，=b，则AOB=q (0q180)叫做向量a和b的夹角2. 数量积：零向量与任一向量的数量积为坐标运算：设两个非零向量，则即3性质：设和都是非零向量，则当与同向时即=0，； 当与反向时即=180，；或 4运算律：；5.特别注意：向量的投影：向量b在a方向上的投影是：|b|cosq当q为锐
3、角时，且与不同向；当q为钝角时，且与不反向；当q =90时，数量积不适合乘法结合律如(ab)ca(bc) (ab)c与c共线，而a(bc)与a共线)数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且ac=bc，并不能得到a=b三、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使1不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为则 当四、向量的应用：（一）求长度若，则，或两点间的距离：若，,（二）证垂直：向量垂直的条件：（三）向量平行(共线)的充要条件：向
4、量与共线即，存在唯一实数，使三点A、B、C共线共线 (四).求向量夹角：是与的夹角，设、都是非零向量，则注意：的范围：五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。2、向量的模：；非零向量与的夹角：3、向量平行：；向量垂直：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式1）是的重心;若是的重心，则故;为的重心.2）是的垂心;若是(非直角三角形)的垂心，则故3）是的外心若是的外心,则故4） 是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是内心的充要条件可以写成 是内心的充要条件也可以是若是的内心，
5、则故;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；六、基础训练（1）已知，且，则向量在向量上的投影为 （2）已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_.（3）非零向量和满足：，则与的夹角等于 .七、典例讲解. 例1. 已知，（1）证明：三点共线.（2）为何值时， 向量与平行 向量与垂直例2、平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。例3. 已知向量，（1）若 求的值。 （2）求的最小值.（3）求函数=的单调增区间八、巩固练习1已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分别
6、为( )A-7，2 B5，2 C-7， D5，2、向量，满足，则的取值范围是 3、已知，则4、已知+，则向量+2与2（ ）A、一定共线 B、一定不共线C、仅当与共线时共线 D、仅当=时共线5、已知ABC顶点A（1，），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标为_6已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是 7、已知|=|，且（+）（k-），则k的值是( ) A1 B-1 C0 D-28、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,为一动点，及，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴
7、上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、已知，且与的夹角为（1）求， （2）证明：与垂直11、已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐标（2）若|=，且+2与2-垂直，求与的夹角.12、已知等边三角形的边长为2，的半径为1，为的任意一条直径，（）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；（）求的最大值平 面 向 量 A 组（1）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）(A) (B) (C) (D) （2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )(A) 平行四边形 (B) 菱形 (
8、C) 矩形 (D) 正方形（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）（4）已知正方形的边长为1， 则等于 ( ) (A) 0 (B) 3 (C) (D)（5）已知，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数 的值为 （6）在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点M在BD上，则向量用，表示为 ；用，表示为 （7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h渡船要垂直地渡过长江，则航向为 （8）三个力，的大小相等
9、，且它们的合力为0，则力与的夹角为 （9）用向量方法证明：三角形的中位线定理（10）已知平面内三点、三点在一条直线上，且，求实数，的值B 组（11）已知点、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则 ( )(A) 点P在线段AB上 (B) 点P在线段AB的反向延长线上(C) 点P在线段AB的延长线上 (D) 点P不在直线AB上（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，则，中正确的等式的个数为 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（13）已知向量，则向量在方向上的投影为 （14）已知，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为
10、 （15）已知向量，若向量与的夹角为直角，则实数的值为 ；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 （16）已知，点为坐标原点，点是直线上一点，求的最小值及取得最小值时的值平 面 向 量C 组1下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）A BC D2已知向量（1,2），（x，4），若，则（ ）A4 B4 C2 D3设是单位向量，且则的最小值是（ ）A B C D4已知三点、，则等于（ ）A2 B6 C2 D35已知向量，若，则等于（ ）A B C D6若向量，则（ ）A B C D7与向量平行的单位向量为（ ）A B C或 D8已知向量=（2，3），向量=（-4，7），则在上的投影为（ ）A
11、B C D9已知点为的外心，且则（ ）A2 B4 C6 D810已知平面向量，且，则（ ）A-3 B-9 C9 D111已知平面向量的夹角为，（ ）A B C D12定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（ ）A8 B8 C8或8 D613已知向量，若用和表示，则= 14向量，满足，且，则在方向上的投影为 15若非零向量，满足，且，则与的夹角为_16设非零向量与的夹角是，且，则的最小值是 17（10分）已知向量（1）求的坐标表示；（2）求的值18（10分）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为32，求m的值19（12分）在OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q,已知:1:2, :3:2,连结AQ、BP,设它们交于点R,若
