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1、奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编数学竞赛讲义之行程问题()5、多车相遇例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有15512辆车所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9辆时
2、，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5840分钟。所以某人骑完全程时间为40分钟。例73、某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。例题求解：我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了(行人+电车)4，所以两辆电车的间隔为(行人+电车)4，于是两辆车间隔时间为；两次追击期间，共行走电车12，行人走了行人12，所以电车行走了(电车行人)12，两辆电车的间隔为(电车行人)12，于是两辆车的间隔时间为。于是，有，所以(行人电车)3(电车行人)有电车2行人，带入，有间隔6分钟。例题评析：此题关键是注意还原求出
3、两车情况。例74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？例题求解：我们画出示意图；我们假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。则B距A点距离为BA60615米； C距A点距离为CA8210820米。所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒10分钟15秒分，路程为820615205。 于是，电车的速度和为205820米/分。于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(82
4、082)109020米远两电车间隔为9020。所以发车间隔为9020820=11分。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”(运程图)，才得以解决。 中途13艘，首尾2艘，共15艘。Excel的解法：这个题目用不着计算，只需在Excel上作图，将相关信息表示出来，结果自然就明白了。作图过程可以
5、充分利用Excel的“粘贴”、“复制”功能，数列“0、1、2、3、4、5、6、7”和数列“7、6、5、4、3、2、1、0”的设置只是举手之劳。从图上可以看出，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样，从勒阿佛尔港驶出的轮船，在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列（蓝色）共有16行相交，除去哈佛港当天自己开出的一列（红色），相交数也是15。例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度
6、都是每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？例题求解：图象法：我们画出示意图，利用示意图来求解，但是要求图象一定的精确度，所以，我们一般使用图象法与分析法结合使用，对有可能的情况分析。通过上图(我们最好画出清晰图)，我们知客车在第5、6两站遇见三辆货车。分析法：客车从一个车站走到下个车站所需时间为： 710060分钟。所以客车到第一站的时间为;第一站：8时0分；第二站：8时分；第三站;8时分；第四站：8时分；第五站：8时分；第六站：8时21分；第七站:8时分；第
7、八站：8时分；第九站：8时分；第十站：8时分；第十一站：8时42分。而客车出发时，第一辆货车距它：10760110千米。所以，客车与第一辆相遇为8时10(10060)60分。相邻两货车间距为：605605千米。所以，客车经过两辆货车的时间间隔为：5(1006)60分。则客车与18辆货车相遇时间顺次为：8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时15分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时30分；8时分；8时分；8时分。所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。在此期间，它于8时分；8时分；8时分三次与货车相遇。所以，是在第5、6两站间，客车三次与货车相
8、遇。例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？例题求解：如下图所示，实线段表示从甲站开往乙站的车，虚线段表示从乙站开往甲站的车，交点表示相遇。最多9辆，最少5辆。例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后前半程时，每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。照片洗出后他们分别这样说：X：
9、“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m。”Z：“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m。“Y：“我是什么时候照的，自己也每记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。“问：“Y是在他们返回跑了几分钟时照的？例题求解：我们先用下图表示一下5个人顺序的变化。从左图中可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C正中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是相同的。为了分析这个时间，我们在两侧B和C的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A线相交时，A就在B和
10、C的正中间，所以我们可以求出这个时刻。这时，图中的两个阴影部分的三角形是相似形。因此。两个三角形的对应边的比(相似比)是30m：60m1：3。所以，m：n=1：2。5人的间隔相同。也就是说，Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。巩固练习习题13、某人沿着电车道旁地便道以4.5千米/小时的速度步行，每7.2分有一辆电车迎面开过，每12分有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车之间地时间间隔是多少？6、优化设计例78、甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班
11、先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？例题求解：我们假设甲坐车时间为“1”。甲班行驶了17速度时乙班行驶了16速度时，然后，甲下车，汽车往回行驶，于是 汽车与乙相遇，他们的路程差为716速度时，速度和为8速度， 所需时间为68时， 于是乙步行11.75时，换车； 甲坐车1时，步行。 因为甲、乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样， 于是甲、乙坐车1，甲、乙步行时间1.75。 所
12、以，坐车与步行路程比为17：1.7514：1； 于是，步行路程为244.8千米。 所以，汽车停在距机场4.8千米处。例79、准习题、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？习题分析：为了使两班最短到达，由上题知，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以我们先让速度大的甲班先走，这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。习题求解：假设甲班先行走时间“1”，则甲班行
13、走4，乙班因为坐车行程48， 现在行程差为48444，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为44， 车、甲速度和为44852，于是需时，车、甲相遇， 此时，甲行走4，乙行走3， 所以，甲、乙行程差为4443=, 乙、车速度差为48345， 车追上乙时间为，于是乙行走了3 甲行走了44，所以他们的步行距离比为 (44):(3)=15:11. 甲、乙两班步行距离比为15：11。方法二、例题求解：甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A班出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇。最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。 在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了ADDC。由于在这一过程
14、中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即 (AC2CD)：AC48：412：1 因此，2CD：DB15：1，CD：DB15：2。 由此，AC：DB15：11。例题评析：我们先要根据上题来确定策略，方法一使用的是相遇、追击基本问题的运用； 方法二使用的是比与比例的知识。例80、甲、两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。两人骑车的速度都是每小时20千米。那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时？例题求解：小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地；此时两人到达乙地所需时间最少。方法一、方程法设甲丙距离为x，则小李需要时间； 小张需要时间。 因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等； 于是，所以x20千米，于是所需时间为小时4小时45分钟。方法二、比例法 我们求出甲丙：丙乙的路程比。 知道，骑车“1”距离时间为；小李步行“1”距离时间为；小张步行距离时间为。小李因走路路程“1”耽搁的时间与小张因走路“1
