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1、第四节复数第四节复数第五章第五章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的运算2.复数的相关概念3.复数的几何意义1.直观想象2.数学运算强基础强基础 固本增分固本增分1.复数的定义及分类(1)复数的定义:形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中a,b分别是它的和.一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还要求虚部不为0微点拨两个不全为实数的复数不能比较大小.微思
2、考复数a+bi的实部为a,虚部为b吗?实部虚部提示:不一定.只有当a,bR时,a才是实部,b才是虚部.2.复数的有关概念 内容意义复数相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)共轭复数a+bi与c+di共轭(a,b,c,dR)复平面、实轴、虚轴建立来表示复数的平面叫做复平面,叫实轴,叫虚轴复数的模设对应的复数为z=a+bi(a,bR),则向量的长度叫做复数z=a+bi的模,|z|=|a+bi|=微点拨实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数.a=c且b=da=c且b=-d平面直角坐标系x轴y轴3.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对
3、应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量所成的集合也是一一对应的,即4.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;(2)复数加法的运算定律对于任意z1,z2,z3C,则复数加法满足以下运算律:交换律:z1+z2=;结合律:(z1+z2)+z3=.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)iz2+z1z1+(z2+z3)(3)复数乘法的运算定律对于任意z1,
4、z2,z3C,有:z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.常用结论4.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a|z|b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;(2)|z-(a+bi)|=r(r0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一复数的运算复数的运算例1(1)(2022新高考,2)若i(1-z)=1,则z+=()A.-2B.-1C.1D.2(2)(2021新高考,2)已知z=2-i,则z(+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i(3)(2022山西临汾三模)在复
5、平面内,复数z的对应点的坐标为(1,-1),则=()A.iB.-1C.1+iD.1-i答案:(1)D(2)C(3)A规律方法 复数代数形式运算问题的解题策略 复数的加减法在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i(2)(2021全国甲,文3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()答案:(1)C(2
6、)B(3)C考点二考点二复数的相关概念复数的相关概念A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案:(1)A(2)D(3)A规律方法 解决复数概念问题的方法及注意事项求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,bR),则该复数的实部为a,虚部为b.答案:(1)D(2)C(3)D考点三考点三复数的几何意复数的几何意义例3(1)若复数z=x+yi(x,yR)满足(1+z)i=3-i,则复数z落在复平面中()内A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:(1)C(2)A解析:(1)由(1+z)i=3-i,可得(1+z)i(-i)=(3-i)(-i),即1+z=-1-3i,可得z=-2-3i,所以x=-2,y=-3,复数z落在复平面中第三象限内.规律方法 与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算,将复数化为标准的代数形式;(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi与复平面上的点(a,b)一一对应.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)复数在复平面上对应的点位于第一象限,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,0)C.(0,+)D.(1,+)答案:(1)A(2)C
