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1、利用函数与方程的思想解“希望杯”试题两例（王文新）第十一届“希望杯”数学邀请赛高一第1试的第5、 第25题， 体现了邀请赛的宗旨提高学生的创新精神及高考应试能力。比较深入地考查了函数与方程的思想。现说明如下。题5 定义域为R的函数f(x), g(x)都有反函数，并且函数f(x+1)和g(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(6)=( )（A） 1999。 （B） 2000。 （C） 2001。 （D） 2002。此题固然可由数形结合求解，但用函数与方程的思想求解更为准确迅速。解 因为g(5)=1999，所以g(1999)=5,即 g(2001-2)=5, 即（2001
2、，5）是方程y=g(x-2)的解。由f(x+1)与g(x-2)的图象关于直线y=x对称，可知f(x+1)与g(x-2)互为反函数。故点（2001，5）关于直线y=x的对称点（5，2001）在f(x+1)的图象上。即 （5，2001）是方程y=f(x+1)的解，所以f(5+1)=2001，即f(6)=2001。选（C）。题25 已知则的取值范围是，的取值范围是。此题若单纯用三角变换及不等式求解，则较麻烦，不妨转换成二次函数的最值问题。解 由所以 设 易知 即 即 同理，由纤即有倚判龄景若蝇米洞蛾剧距亏易知脏蛮你铜烧袜乌兄影锁赛注夸茄第2骗5题也的原缎答案竭（0沙，叮）有帐误，厕不妨应取肃款可得则由社取伙，显狮然满港足0育蓬；射母渠2傻胆。
