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1、统计物理 研究型学习7.2.7 最大功原理 平衡稳定性判据2010-2011 第二学期学 院：物理科学和技术学院年 级： * 姓 名： *学 号： *7.2.7 最大功原理 平衡稳定性判据课型：研究型学习 课时：45min 班级：2008级基地班 日期：2011-3-29【本节地位】【听课对象】【讲课目标】1、知识和技能（1）理解动能的概念，掌握动能的表达式；（2）深入理解动能定理的确切含义，熟练应用动能定理解决实际问题。 2、 过程和方法（1）运用演绎推导方式推导动能及动能定理的表达式；（2）结合课堂练习体会运用动能定理解题比牛顿运动定理解题的优越性。【讲课重点】（1）动能的概念；（2）动能
2、定理及其应用。【讲课难点】动能定理的理解和应用。【讲课形式】“推导-探索”的教学形式，讲授式。【教 具】多媒体课件。【讲课过程】整体结构（流程）：讲授基本原理，推导最大功原理、稳定平衡的数学表达式，10-20min。余下时间课堂讨论，由组员提出问题，并给出自己的见解（参考解答）。讨论的问题是这一节中几个值得进一步思考的、概念性的、着眼于物理过程的问题。一、 基本原理（一） 最大功原理出发点：（1）热力学第一定律上式是对于封闭系统（有能量交换但无物质交换的系统）的无穷小变化而言的。dU是内能的变化量，内能U适合系统内部能量（如分子的平动、转动、振动能量，磁性原子在外场中的能量、电子的能量等）有关
3、的能量的系综平均，和过程无关。dW为外参量（如体积、磁场强度等）引起的内能变化，前面带有负号，所以这里代表系统对外界做的功，和过程有关。最后，dQ为外参量不变时，系统内能的变化量，和过程有关。出发点：（2）热力学第二定律由此推导：和热力学势（U、F、H、G）有关的最大功原理（其中H没有最大功原理），熵增加原理，“势减小原理”。下面，我们将以表格的形式呈现（表1），并口头说明各个符号、等式、不等式所代表的物理过程和物理意义。表1热力学势基本关系式特殊物理过程相应关系式U等熵等熵不做功F等温等温不做功G等温等压等温等压不做功H等熵等压？有待商榷？等熵等压不做功绝热绝热不做功1、 上面的式子中（系统
4、对外的功=膨胀功+非膨胀功）2、 式中，等号表示可逆过程内能的减少等于系统对外做的功，不等号表示不可逆过程中，内能/自由能/焓/自由焓的减少大于系统对外做的功，也就是说，当减少相同的内能/自由能/焓/自由焓时，可逆过程比不可逆过程系统对外做的功要大，即可逆过程最大功。3、 式的不同之处在于特性函数的态参量不同，也就是全微分的自变量不同。但这绝对不是换几个自变量的问题，有很重要的物理意义。通过前面学习的普遍热力学方程，我们可以看到，通过对热力学第一定律：进行勒让德变换，我们可以得到很多很多的全微分表达式，但其中只有很少的几个有意义。我觉得，我们选择某一个表达式的目的，就在于我们做研究的物理过程中
5、的特殊条件可以使这个全微分表达式右边的一项或几项等于零，从而简化表达式，便于尽快积分得到结果。例如，物理过程是等温，我们就找含有dT的：，物理过程是等压的，我们就找含dp的：，从上面也可以看到，等温等压就用：而熵的测得相对比较困难，（只能间接测量？）所以我们很少用：，这可能也是引入内能u以外的其他热力学势（F、H、G）的原因吧。4、 说到引入热力学势，再多说两句，关于热力学势的物理意义。由F=U-TS，我们可以看到，F的物理意义就是，在等温可逆过程中，可以转化为功的那部分内能，即所谓“自由”。相应的，由G=H-TS，我们可以看到，G的物理意义即在等温等压可逆过程中，可以转化为功的那一部分焓，即
6、“自由焓”。而焓的物理意义？5、说的是，在不同限定条件的物理过程中，系统的内能/自由能/焓、自由焓只能减少或者不变，而我们知道系统的状态只能是平衡或者不平衡。显然，内能/自由能/焓/自由焓减少对应于不平衡状态，内能/自由能/焓/自由焓不变对应于平衡状态。换句话说，当系统处于非平衡态时，内能/自由能/焓/自由焓会一直减小，减小，减小到最小，也就达到平衡不再变。这时如果给系统一个扰动，（无论热力学势是否改变），都将打破平衡，重新开始势减小的过程，直至势最小，达到新平衡。这也就是以熵增加原理为本源的，由三种热力学势表达出来的“势减少原理”。这种趋向最小值的特征，也就是内能/自由能/焓/自由焓被称为热
7、力学势的原因，（类比于重力势能等）。关于势减小这个问题，我们还有一些拿不准的，留到最后的讨论中再说。6、这里要注意的是，对于绝热过程，没有涉及到热力学第二定律所以无论可逆不可逆，系统对外的非膨胀功都等于系统焓的减少（如所示）；绝热系统不做功，则焓不变（如所示）。（二） 平衡以及平衡稳定的条件表2热力学势（熵除外）平衡判据平衡稳定性判据UFGHS1、如果将变分类比和函数的导数，一次导数为零，对应最值（平衡点），二次导数小于零对应极大值（稳定平衡），我们不禁想问，二次导数大于零是什么平衡？这个问题我们放到最后的讨论中。下面，我们从平衡和平衡稳定的判据出发，推导用直接可测量表示的平衡条件和平衡稳定性
8、条件。首先，根据线性代数中的定义，U（S,V）的平衡稳定性判据是以为自变量的正定二次型（只含自变量二次项的多项式叫做二次多项式。二次型多项式中，当自变量取任意值时，多项式都大于零，则成为正定二次型）。把正定二次型写成的矩阵形式，其中A为是对称矩阵。则可用数学归纳法证明，对称矩阵A为正定的充分必要条件为：A的各阶顺序主子式均大于零。这也是常用来判断正定二次型的代数性质。这里只有两个变量，所以可以得到一个11和一个22的不等式。前者得到的是热平衡条件：Cv0后者满足雅克比行列式的定义，利用雅克比行列式的性质稍加变形，便可得到力学平衡条件：不满足这两个条件的平衡态是不稳定的，在自然界不可能存在。二、
9、 讨论1、 理解“势最小原理”2、 理解“平衡的稳定性”在力学中我们接触过稳定平衡的问题：图1 力学中的稳定平衡、随遇平衡和不稳定平衡我们来看百度百科的解释：在101.325Pa压力下，纯净无尘的水可以被冷却至0以下仍不结冰，此种状态的水称为过冷水，它相对于同温度的冰而言是处于亚稳态，一旦受到力学冲击或加入小颗粒，过冷水立即变为稳态的冰。凡能在被移动离开它的平衡位置后，仍试图回复其原来位置（此时其重心比较低）从而恢复到原来的平衡状态的物体，它原来的平衡状态叫“稳定平衡”。例如，圆球体在一个凹进的圆盘中时；一圆锥体以其底面竖立时，都属于稳定平衡状态。稳定平衡是一切客观存在的物体所具有的基本特征。这是因为，一切物体均处于不变化和变化的矛盾过程中。不变意味着物体处于一种平衡状态，外在的因素和内在的因素都在对物体的平衡状态产生作用，而物体却都能在一定限度范围内恢复原来的平衡状态。所以可以将稳定平衡视为物体的一种基本特征，并且扩大到哲学的视野来表述。 / /
