《偏微分方程matlab》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分方程matlab（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常 (即不随时间变化) 过程， 都可用椭圆型方程来描述。 其最典型、 最简单的形式是泊松 方程(Poisson)2u2uf (x,y)u22(1)xyy) 0特别地，当f ( x,时，即为拉普拉斯 (Laplace) 方程，又称为调和方程2u2 uu220(2)xy带有稳定热源或部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。Poisson 方程的第一边值问题为u(x,y)(x,y)2uu2 f(x,y) (x,y) y(x,y)3)其 中 为 以 为 边 界 的 有 界区 域 ， 为 分 段 光 滑 曲 线
2、， U 称 为 定 解区 域 ， y), ? (x, y) 分别为 , 上的已知连续函数。第二类和第三类边界条件可统一表示成f (x,u(x,y)0 (a 0)4)其中 n 为边界 的外法线方向。当 = 0 时为第二类边界条件， 0 时为第三类边界条件。 在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其最 简单的形式为一维热传导方程2 a u2 0 (a 0)x25)可以有两种不同类型的定解问题： Cauchy 问题)t 方程 初值问题(也称为2 uu a20 tx2u(x,0) (x) 初边值问题2 x2u2 0 x (x) g1(t),u
3、(l,t)u a t u(x,0) u(0,t)0,5)T,0 xg2(t), 06)7)其中 ? (x),g1(x),g2(x)为已知函数，且满足连接条件问题( 7)中的边界条件 u(0,t)(0) g1(0), (l) g2(0)g1(t),u(l,t) g2(t) 称为第一类界条件。第二类和第三类边界条件为1(t)ug1 (t ),0 t Tx08)2(t)ug2 (t ),0 t Txl双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程9）物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程210)u a2x描述，它是双曲型方程的典型形式。方程（10）的初值问题为2u2 u2 0 t, xxt2au(x
4、,0)( x)x（11）utt0( x)x边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为2ut2 a2u2x0t,0 x luu(x,0)(x)( x) 0 x ltt0u(0,t)g1(t),u(l,t)g2 (t)0 t T如果偏微分方程定解问题的解存在， 唯一且连续依赖于定解数据 （即出现在方程和定解条件 中的已知函数），则此定解问题是适定的。可以证明，上面所举各种定解问题都是适定的。 2 偏微分方程的差分解法差分方法又称为有限差分方法或网格法， 是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的 方法之一。 它的基本思想是： 先对求解区域作网格剖分， 将自变量的连续变化区域用有限离 散点（网格点
5、） 集代替； 将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数 代替；通过用网格点上函数的差商代替导数， 将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含 有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。 如果差分格式有解， 且当网格无限变小时其 解收敛于原微分方程定解问题的解， 则差分格式的解就作为原问题的近似解 （数值解）。 因 此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（ i ）选取网格；（ ii ）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（ iii ）求解差分格式；（ iv ）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。下面我们只对偏微分方程的差分解法作一简要的介
6、绍。2.1 椭圆型方程第一边值问题的差分解法以 Poisson 方程（ 1）为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 考虑 Poisson22uu22方程的第一边值问题（ 3）xyu(x,y)(x,y)(x,y)取 h, 分别为x 方向和(k, j 0, 1, 2,） 将 定 解R ( xk,yk)|xkkh,yj jf(x,y) (x,y)y 方向的步长，以两族平行线x xkkh, y yj j区域剖分成矩形网格。节点, i, j 为整数 。定解区域部的节点称为点，的全体记记点集 Rh 。边界与网格线的交点称为边界点， 边界点全体记为 h 。与节点 （xk,yj）沿 x 方 向或 y 方向只差
7、一个步长的点 （xk 1,yj）和 （xk,yj 1） 称为节点 （xk, y j ）的相邻节点。如 果一个点的四个相邻节点均属于 U ，称为正则点，正则点的全体记为 （1） ，至少有一个 相邻节点不属于 U 的点称为非正则点，非正则点的全体记为 （2） 。我们的问题是要求 出问题（ 3）在全体点上的数值解。为 简 便 记 ， 记 (k,j) (xkyj),u(k,j) u(xk,yj),fk,j f(xk,yj) 。 对 正 则 点x2u2(k,j)（k, j） （1） ，由二阶中心差商公式O(h2)u(k 1,j) 2u(k, j) u(k 1, j)h2(k,j)u(k, j 1) 2u
8、(k, j) u(k, j 1) O( 2)Poisson 方程（ 1）在点 （k, j） 处可表示为uk 1,j 2uk, j uk 1, j h2 O(h22)uk, j 1 2uk,juk, j 1212)k,j在式（ 12）中略去 O（h222 ） ，即得与方程（ 1 ）相近似的差分方程uk 1,j2uk, juk 1, jh2uk,j 1 2uk,juk,j 12k, j(13)式（13）中方程的个数等于正则点的个数， 而未知数 uk,j , 则除了包含正则点处解 u的近似值， 还包含一些非正则点处 u 的近似值， 因而方程个数少于未知数个数。 在非正则点处 Poisson 方程的差
9、分近似不能按式（ 13）给出，需要利用边界条件得到。边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。（i） 直接转移 （ii） 线性插值 由式（ 13）所给出的差分格式称为五点菱形格式，实际计算时经常取 五点菱形格式可化为1 u uuu 4u2 uk 1, j uk 1,j uk, j 1 uk, j 1 4uk, j h 简记为12 uk, j hh = ，此时k,j14),j15)其中uk, juk 1, j uk 1,juk,j 1uk, j 1 4uk, j求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法，同步迭代法是最简单的迭代方式。除 边界节点外，区域节点的初始值是任意取定的。Lapla
10、ce 方程第一边值问题1 用五点菱形格式求解2y2u2 0y例2u2xu(x,y) (x,y) lg(1 x)2(x,y)其中 ( x,y)|0 x,y 1 。当 h 时，利用点 (k, j),(k1 u u u2 uk 1,j 1 uk 1,j 1 uk 1, j 1 2h 称为五点矩形格式，简记为1。31, j .1),(k1, j +1) 构造的差分格式uk1,j 14uk, jk,j16)12h2 uk,jk, j17)其中 uk,j uk 1, j 1 uk 1,j 1 uk 1,j 1 uk 1, j 1 4uk,j 。2.2 抛物型方程的差分解法 以一维热传导方程（ 5）2uua
11、 2 0 (a 0) t x2为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。首先对 xt 平面进行网格剖分。分别取 h, 为x方向与 t 方向的步长，用两族平行直） ，将 xt 平面剖分 ） 。为简便起见，记线 x xk kh (k = 0, 1, 2,) ， t tj j k ( j = 0,1,2,成矩形网格，节点为 (xk,yj) (k = 0, 1, 2, , j = 0,1,2,(k,j) (xk,yj), u(k,j) u(xk,yj), k(xk), g1j g1(tj),g2jg2(t j), 1j1(tj ),2 j2 (t j ) 。2.2.1 微分方程的差分近似2
12、 在网格点 (k, j) 处，对 u分别采用向前、向后及中心差商公式，对u2 采用tx2阶中心差商公式，一维热传导方程( 5)可分别表示为u(k,j 1) u(k,j) au(k 1, j) 2u(k,j) u(k 1,j) O( h2) a 2 O( h ) hu(k, j) u(k, j 1) au(k 1, j) 2u(k,j) u(k 1, j) O( h2) a 2 O( h ) hu(k, j 1) u(k, j 1) u(k 1, j) 2u(k, j) u(k 1, j) 22 a h2 O( h2 )由此得到一维热传导方程的不同的差分近似uk,j1 uk, juk 1, j2
13、uk, juk 1,j 0ah20uk,juk,j 1uk 1, j2uk, juk 1,j0ah2uk,j1 uk, j 1uk 1, j2uk,juk 1, j02ah218）19）（20）2.2.2 初、边值条件的处理为用差分方程求解定解问题（ 6），（ 7）等，还需对定解条件进行离散化。对初始条件及第一类边界条件，可直接得到uk,0u xk,0k(k0,1, 或 k 0,1n) (21)u0,ju(0,tj)g1j(j0,1,m 1)（22）un,ju(l,tj)g2jlT其中 n,m。h对第二、三类边界条件则需用差商近似。下面介绍两种较简单的处理方法。i ）在左边界 （x = 0） 处用向前差商近似偏导数，在右边界 （ xl ） 处用向后差商近似偏导数 u ，即x即得边界条件（ 8）的差分近似为（ ii ）用中心差商近似 u ，即x则得边界条件的差分近似为这样处理边界条件，误差的阶数提
