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1、 毕业设计(论文)外文资料翻译学院 (系)： 机械工程院 专 业： 机械工程及自动化 姓 名： 周雷 学 号： 0601510172 外文出处： The Parametric and Nonparametric Splines 附 件： 1.外文资料翻译译文；2.外文原文。 指导教师评语：此翻译文章翻译用词比拟准确，文笔也较为通顺，为在以后工作中接触英文资料打下了根底 签名： 年 月 日注：请将该封面与附件装订成册。附件1：外文资料翻译译文与的比照 利用三次样条函数的好处如下是： 1. 他们简化计算的必要条件和数字的不稳定性由高阶的曲线引起的。 2. 他们允许有转折点的最低阶的三维曲线。 3.
2、 他们在空间中有能力扭曲。在这章中我们将提出两种类型的样条参量性的和非参量性的样条，我们在这里负责解释根本的数学推导和举例论证他们的工具的任务。 4.7 抛物线的三次样条函数考虑在平面内由随着变化描绘所得的一组数据点。我们的结果是要在所有的这些点之间通过一参量性的三次样条函数。参量性的三次样条函数是表示为一或多个参量的函数的曲线。在任何两点之间参量性的三次样条函数等式是根据参数得到的，如下： (4.56) 和 根据边界条件和曲线的连续性和稳定性而决定的常数。注意在任何两点之间如何定义精确的距离。如果距离是标准的，因此它的涵义是从0到1。在时，样条与系数相等。从而， for (4.57)我们在这
3、个时候目标是要求在每一时间间隔之间常数的值。参数的弦长定义为 当 (4.58)求其它常数的值的方法如下。考虑这三点，, 和 。让在 和 之间的弦长为和在 和 之间的弦长为。让为在 和 之间参量性的三次样条函数和为在 和 之间参量性的三次样条函数。因为在开始和在结束，的涵义是应该在从0开始和在以结束。实际上当它们是被定义点所需要的时，在等式4.56中定义常数有 和 成分。按照x轴向和y轴向分量两者所表示的参量性样条函数的一般关系式如下被表达： (4.59)式中 和 再次注意到当我们在如何求的值以及它的导数的时候，我们得到 (4.60) (4.61)因此 (: 控制顶点) ( 未知) (4.62)
4、同样地，我们以在点 和 写入导数 (4.63) (4.64) (4.65)我们由等式4.56定义三次样条函数,当我们代替常数 和 同从等式4.60和4.61获得的 和 的时候，采取以下的形式： (4.66)在控制顶点 的连续性使我们得出 (4.67)从那我们求出 和 。因为的 和 和 是的函数，它是更多符合需要的表示它们 (4.68)现在我们可以求出适合 和 的表达式当作和的函数。利用等式4.67和4.68，我们得到 (4.69) (4.70)因此，那样条函数在 和 之间可以简单的表示为 (4.71)在计算机图形处理的环境中和通用算法的开展中，我们需要问以下问题： 1.我们怎样才能形成为所有的
5、三次函数解决 和 的方法？ 2.我们怎样选择, 和 而得到数据集点？ 3.我们怎样确定在节点中样条函数之间的连续性？总之，等式4.71能对于任何两个相邻的立方局部进行归纳而得到解答，例如当时的 和 ，为数据点的数目。为一般的数据集改写等式4.71，我们得 (4.72)答复前面的问题，我们首先指出那个确定在立方局部之间的连续性，我们必须计算和的第二阶导数与在他们的相应的相连点方面把他们等同起来。从等式4.56，我们得到 (4.73) (4.74) (4.75)我们也能分辨那边界条件 (4.76)利用等式4.73，4.74，和4.75与等式4.40，4.41，和4.42一起我们得到 4.77在矩阵
6、形式中，等式4.77是被明确地写成的，显示了那等式的重要特征。简而言之， (4.78)等式4.78得到含未知数的个等式是显而易见的。本质上，为了求出未知数，我们必须按照的两个附加等式。另一方面，如果端点 和 ，通常就是这样在射束偏转中分析,然前方程组结果形成一致的联立方程式为我们求出所有的未知数。现在我们能检验边界条件使上述问题彻底地解决。边界条件自然样条函数。 亦称衰减条件，自然样条函数由根据时间函数从开始阶段和到0结束所设定第二阶导数来确定。因此， (4.79) (4.80)按照写出这些条件，我们得到两个等式 (4.81和 (4.82)增加等式4.81和4.82给等式4.49个方程，我们因
7、此能求出所有的定位样条函数。 为这样条函数提出的边界条件是以致于在 和 的第一阶导数斜率被确定。它们必须在等式4.78里构成附加的其他两个等式。 总结 在任何两点之间参量性的三次样条函数构造如下： 1. 求出最大弦长和计算。 2. 利用等式4.78和相应的边界条件求出。 3. 利用等式4.62，4.69，和4.70求出组成参量性三次样条函数的系数。范例4.5为以下数据集(1,1), (1.5,2), (2.5,1.75), 和(3.0,3.25)，求出参数的三次样条函数在基点的两个末端假设一种衰减形式。解答图表4.7 i xiyi ti+1 0 1 1 1.118 1 1.5 2.0 1.03
8、1 2 2.5 1.75 0.707 3 3.0 2.25 我们首先计算弦的跨度 计算所必须的精确等式从等式4.74获得 i=0) i=1) i=2) i=3) (4.83)利用等式4.81和4.82得到边界条件，与上述等式4.54或者简单地利用等式4.78一起，我们得 (4.84)式中 (4.85)= (4.86)为了给作解答，我们经过倍增等式4.84，使其自动地得到常数，得出 式中 (4.87)现在我们使用等式4.69得到 for i=1,2,3 (4.88) (4.89)相似地,等式4.68给出常数 (4.90) (4.91)总之，我们已经得到联接所有的4个数据点的所有的三条样条和他们在
9、他们的明确形式中被表达.。 (4.92)在图4.10中表示。图4.10 参数的三次曲线是等式4.92得出的。范例4.5结束4.8 非参量性的三次样条函数非参量性的三次样条函数被定义为是有唯一的单参数的函数的曲线。非参量性的三次样条函数允许在参数值和那三次样条函数的数值之间的直线变量的关系式来决定。这从它的数学表达式中可看出： (4.93)从等式4.93，我们注意到那三次样条函数是单独的函数。如此，我们可以说在范围内的时间间隔中适合于的数据集点的判定，我们必须建立经过所有这些点的样条。让每一子区间由来表示；因此，我们的任务将求出这些间隔中的每个三次样条函数。再次，我们必须得到一个为常数, 和作解答的算法。三次样条函数是由三次局部样条组成。每个点有 和 数值；因此，那的函数是为所有的点定义。对那间隔，我们可以写 (4.94) (4.95)考虑那三次样条函数的平滑性和连续性，从以下的情况得到：
