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1、第四篇 波动与光学 振动物理量在某一定值附近来回变化-振动。机械振动: 力学量的振动； 电磁震荡: 电磁学量的振动。波动振动的传播过程伴随着能量的流动。机械波: 机械振动在介质中的传播； 电磁波: 电磁场的传播。光属于电磁波，真空波长约在0.77mm-0.35mm间。独特之处: 引起人的视觉，实用性强。教学内容(共六章，约28学时)机械振动和机械波（第十四、十五章），电磁震荡和电磁波（第十六章），光波: 光的干涉（十七章）、光的衍射（十八章）、光的偏振（十九章）。-第十四章 振动教学目标 * 掌握描述简谐振动各物理量及相互关系。 * 掌握旋转矢量法，并分析有关问题。 * 掌握谐振动基本特征，弹
2、簧振子微分方程，一维谐振动运动方程。 * 理解同方向、同频率谐振动合成规律。教学内容（6学时）14-1 简谐振动的描述14-2 简谐振动的动力学14-3 阻尼振动*14-4 受迫振动 共振*14-5 同方向同频率的简谐振动的合成14-6 同方向不同频率的简谐振动的合成*14-7 谐振分析*重点简谐振动的描述及特征,谐振方程、谐振曲线、旋转矢量。作业14-03)、14-06）、14-08）、14-11）、14-13）、14-18）、14-22）、14-24）、14-26）、14-32）、14-38）、14-40）。-14-1 简谐振动的描述一 简谐振动的描述(例如: 弹簧振子的无阻尼振动就是简谐
3、振动)物体对于平衡位置的位移x按余弦函数规律随t变化的振动_简谐振动。1谐振方程* 谐振方程（简谐振动的数学表达式_运动方程）： (14-1) 其中: A、和为常量-特征量 A-振幅；-角频率；-初相； -相位 (14-2)* 相位变化：从t1到t2，相位从变到，相位变化为：* 振动周期T：当时（一次全振动），有 ，得： * 振动频率： 及 有： (14-3)* 进一步记作： (14-4) (14-5)* 单位（SI制）： T s， Hz(或s1)， rad/s(或s1)2谐振曲线 （按(14-5) 描图谐振曲线）要点： 特征量 A、；特殊相位（0、2）3矢量图示法* 旋转矢量：作矢量A绕O以
4、匀角速沿逆时针旋转，端点画出一参考圆。 设t=0时，A与x轴夹角为，任意t时为，矢量端点M在OX轴上投影点P的运动规律： - 它就是谐振子在OX方向上的简谐振动规律。结论：可以用旋转矢量A的端点在OX轴上的投影点P的运动来摸拟一个在OX轴上的简谐运动。* 模拟内容如下：矢量长度_振动振幅；矢量角位置_振动相位，矢量初角_振动初相位，矢量角位移_振动相位变化；矢量角速度_振动的角频率；矢量旋转周期和频率_振动的周期和频率。-例14-1 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为A，周期为T， （1）当t = 0时，质点对平衡位置的位移x0 = A/2，质点向x轴正向方运动，求：质点振动的初相；(2) 质点从
5、x=0处运动到x=A/2处，求：最少需要多少时间？ 解 (1) 当t = 0时， x0 = A/2，旋转矢量与x轴夹角为= /3或= -/3。若 = /3，不合题意；若 = -/3，合题意(矢量端点投影向x正方向运动)。故质点振动的初相为 = -/3。(2) 质点x = 0处到x = A/2处过程，不是匀速运动。而在图（b）（x=0到x=A/2），旋转矢量从= -/2到= -/3处，转过/6。匀角速转动，转动一周是T，转过/6时间为T/12，就是所求的最短时间。例14.2 一质点作简谐振动的振动曲线如图，求: 质点的振动方程。 解： (从图中找出特征量 A、 )* 振幅: A=2cm * 相位
6、改变:在t=0时， x0=A/2，质点速度(曲线斜率)为负值，可知初相为= /3。在t=2s时，x0=A/2，质点速度为正值，相位应为=5/3（注意：不取= -/3）从t=0到t=2s，= /3变到=5/3，t=2s，相位改变为: =4/3* 角频率: =/t=2/3* 振动方程: (cm)二 同频率的简谐振动的相位差设有下列两个同频率简谐振动： 相位差为: (14-6)例如： （1） 从谐振方程分析相位上: 超前振动/2，时间上: 超前振动T/4。可见：相差 =/2，相位比大/2，须T/4后到达的现状。（2） 从谐振曲线分析 可见：在t=0时，振动的相位为0，振动的相位为/2，在t=T/4时
7、，振动的相位为/2，振动的相位为。( 振动超前振动/2，超前T/4 )（3） 从矢量图分析 （作出t=0时两振动的矢量图，为简单起见，设A1=A2） 其中: A1 对应的旋转矢量， A2 对应的旋转矢量。夹角代表相位差, 相位差不随时间改变。可见：振动相位始终比振动相位超前/2。(可说：振动超前振动3/2 )约定: 值限定在 p 以内, (2kp ,k=1,2,3.) 同相， (k p ,k=1,3,5.) 反相。三 简谐振动的速度和加速度* 简谐振动质点的速度： （14-7）* 简谐振动质点的加速度： （14-8）可以看出: * 广义: 简谐振动x的速度v、加速度a是简谐振动，且频率相同，振
8、幅分别为A、Vmax = A和amax = 2A；相位依次超前/2。-例14.3 一质点沿x轴作简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s，当t = 0时，质点对平衡位置的位移x0 = 0.06m，质点向x正向运动。求： (1) 简谐振动的运动方程；(2) 当t=T/4时，质点的位移、速度、加速度；解: (1) 取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为： 其中： A = 0.12（m）， ，（下面用矢量图求初相j）由初始条件，t = 0时 x0 = 0.06m = A/2，质点向x正向运动，可画出旋转矢量的初始位置，从而得出。于是运动方程为： (2) 速度为: 加速度为: 将代入, 得：位
9、移为： x = 0.104 m速度为： 加速度为： -14-2 简谐振动的动力学一 简谐振动的微分方程按简谐振动 (14-8)式 ，改写为: (14-9)（ 二阶线性齐次微分方程，称为谐振微分方程）方程解为： 其中：A、j -积分常量。讨论：* 满足谐振微分方程(14-9)的物理量是谐振量，运动是简谐振动.（谐振的充分必要条件） * x可能是：速度、加速度，角位移、角速度，电流、电压、电场强度和磁感应强度等。二 简谐振动的动力学特征1.若质点所受合外力是正比回复力，则质点运动是简谐振动(充要条件)如果一个质点沿x方向运动，它受到的合外力为正比回复力，即 则由牛顿第二定律，可得: 或: 固有角频
10、率: (14-10)固有周期: (14-11)2. 若刚体所受的合外力矩是正比回复力矩： (14-12) 刚体的转动是简谐振动。由转动定律可得: 令 (14-13)有: _ 谐振微分方程(表示: 刚体对于平衡位置的角位移是一个谐振量)即: （表示角位移的振幅）固有角频率: (14-14) 固有周期: (14-15)下面考虑几个具体的简谐振动实例* 自由振动的水平弹簧振子 由胡克定律，物体受弹性力为: - 简谐振动 (k表示劲度系数)固有角频率为: 固有周期为: * 竖直悬挂的弹簧振子(还受另一个恒力的作用): 则小球受合力为： 平衡点x = x0 : mg = kx0代入得：设立Ox 轴， , 得: _简
