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1、实数的连续性公理证明确界存在定理定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。定理二 单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。定理三 确界定理 在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。定理四 区间套定理 设 是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即 。定理五 Borel有限覆盖定理 实数闭区间 的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理 有
2、界数列必有收敛子数列。定理七 Cauchy收敛原理 在实数系中，数列 有极限存在的充分必要条件是：任给 0，存在N，当nN，mN时，有 。 定理一 三是对实数连续性的描述，定理四 定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：定理一 定理二：设数列 单调上升有上界。令B是 全体上界组成的集合，即B= ，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。事实上，由 有上界知B不空。又 单调上升，故 ，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又 ，则 ，使 ，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本
3、定理，存在唯一的 使得对任意 ，任意 ，有 。下证 。事实上，对 ，由于 ，知 ，使得 。又 单调上升。故当nN时，有 。注意到 ，便有 。故当nN时有，于是 。这就证明了 。若 单调下降有下界，则令 ，则 就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则。定理二证完。定理二 定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则 ，使得对 ，有 。又 R是全序集， 对 ，与 有且只有一个成立。故 ,有 与 有且只有一个成立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。 X有上界， 实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知， 实数都是X的上界，这显
4、然与X非空矛盾。故 ，使得 不是X的上界， 是X的上界。则 使得 。用 的中点 二等分 ，如果 是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取 。继续用二等分 ，如果 是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取 。如此继续下去，便得到两串序列。其中 都不是X的上界且单调上升有上界（例如 ）， 都是X的上界且单调下降有下界（例如 ）。并且 （当 时）。由 单调上升有上界知有 存在，使得 。下证 。事实上 ， 对， ，当 时有 。又 都不是X上界 对每一个 ，使得 。故对 ， ，使得 。若，使得 ，则由 知 。故，使得 。又 都是X的上界，故对 有 。而 ，故 ，这是不可能的。故对 ，有 。综上、即有
5、 。即X有上确界存在。定理三 定理四：由条件知集合 非空，且有上界（例如 ）。故由确界定理知A有上确界，记为 。则对 ，有 。同理可知集合有下确界，记为 。则对 ，有 。又 ，由上可知 。 两边取极限，令 有 。又显然 。否则由于 是A的上确界，则 ，使得 ；同理 ，使得 ，则有。又由区间套的构造可知，对 ，记k=max（n,m），则有。故有 ，矛盾。故必有 。故 ，记为r。则对 ，有 。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一 ，使得。由于 对一切n成立，故 ,令，得 ，与 矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即 。定理四 定理五：用反证法。设
6、E是区间 的一个覆盖，但 没有E的有限子覆盖。记 ，二等分 ，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E,则E是 的E的有限子覆盖，即 有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为 。二等分 ，则必有一区间没有E的有限子覆盖，记为 。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列，满足(i) ；(ii) 。故 构成一个区间套，且每个 都没有E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得 。又 由覆盖的定义有 ，使得 ，即 。又由上区间套定理的证明可知 ，其中 。故 ，使得 ， ，使得 。设 ，则，即有 覆盖 。这与 没有E的有限子覆盖的构造矛盾，故 必
7、有E的有限子覆盖。定理五 定理六：设数列 有界，即实数 a,b，且ab，有 。用反证法，如果 无收敛子数列，则对 ，使得只有有限个 。（如果不然，即 ，对 ，有 中有无限个 。选定 ，再选 ，使 。这是办得到的，因为 包含数列的无限多项。再取 ，使 。如此继续下去，便得到 的一子数列 。令 ，则有 。又 ， 与反证假设矛盾）。又以这样的 作为元素组成的集合显然是 的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知 有E的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含 的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故 只包含 的有限项。这与 矛盾，故 必有收敛子数列，即有界数列必有收敛子数列。定理六 定理七：必要性
8、：设在实数系中，数列 有极限存在，则 ， ，使得只要 ，有 （记 ）。因此只要 ，就有。必要性得证。 充分性：设在实数系中，数列 满足： ， ，当时，有 ，即 是基本列。先证 是有界的。事实上，取，则 ，使得当 时，有 。取定一 ，则有 。取 ，则有 。这就证明了 是有界的。再证明 有极限存在。由Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知 有子数列 ，使得 存在，记为a。下证。事实上， ，由题设知 ，当 时，有 。又 ， ，只要 ，就有 。取 ，则只要 ，选取 ，就有 。这就证明了 。即 有极限存在。充分性得证。综上，定理七证完。定理七 定理一：对任意给定的实数R的分划A|B， A、
9、B非空， 可任取点。又 分划满足不乱， 。用 的中点 二等分 ，如果 ，则取 ；如果 。则取。（ 分划满足不漏， 对任意实数，或者属于A，或者属于B。故或 。）继续用 二等分 ，如果 ，则取；如果 ，则取 。如此继续下去，便得到两串序列 。其中 单调上升有上界（例如 ）， 单调下降有下界（例如 ），并且 （当 时）。下面用柯西收敛原理来证明存在。事实上如果不然，则 ， ， ，有 。不妨设 ，由 单调上升有 。 对 上式都成立（ ）， 取 ，并把所得的不等式相加得 。其中k为不等式的个数。故 ，当 时。而由N的取法可知对每一个k都有相应的N与之对应，即有相应的 与之对应。故对 ， ，使得。即 无
10、界，与 有界矛盾。故 存在，记为r。下证对，有 。这等价于证明对 ，有 。事实上，由 知 ，使 。故 。而对 ，由 知 。故 ，使 。从而 ，这就证明了 ，即证明了实数基本定理。 综上，这就证明了这七个定理是等价的。而从证明过程来看：定理二 定理三的方法可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定理一的方法可运用于定理七 定理二，定理二 定理四，定理四 定理一。而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小数证明了实数基本定理。而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。事实上我们还可以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都能构成反映实数本质的实数公理系统。
