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1、第一章 复数与复变函数的学习要点复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点 学习要点及基本要求1熟悉复数的三种常用的表
2、示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角2熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意义掌握复数相等的两种规定：设，则且；且（或且）3掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如表示向量到向量的夹角等），；，；，（其中）；，（其中）4掌握直线和圆周方程的如下几种常用的复数表示：直线的几种复数表示：（1）一般形式： ，其中是不为零的复常数，（2）过两点的直线：（复数方程）；，（复参数方程）若限制，则上面的参数方程为连接两点的直线段的参数方程（3）两点的连线段的垂直平分线：或圆周的几种复
3、数表示：（1）一般形式：，其中是复常数，（2）不共线三点所确定的圆周：（3）以为心，为半径的圆周： （复数方程）， ，或（复参数方程）（4）以两点为对称点的圆周：，5理解复数在球面上的几何表示（即单位球面上的球极投影），非正常复数的几何表示（即单位球面上的北极点），复平面和扩充复平面的几何表示（即分别为复球面去掉北极点和复球面），并掌握复数与其球极投影点的坐标之间的如下关系：设，为在复球面上的球极投影，则（已知，可求），（已知，可求）6会用复数来表示一些平面点集，并会判断一个平面点集是否区域、单连通区域和多连通区域7理解简单（闭）曲线、光滑曲线和分段光滑曲线的含义8掌握复变函数的极限和连续的概
4、念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如，极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性9正确理解并熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集
5、上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数在点集上一致连续对任意两个点列，只要，总有复变函数在点集上不一致连续存在两个点列，虽然，但 10掌握讨论不存在的如下有效方法：设是点集中过的一条曲线（是的聚点），和是点集中过的两条不同曲线，若不存在或，都存在但极限值不相等，则一定不存在第二章 解析函数的学习要点解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用本章，首先，从复变函数的导数或
6、可微的概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件柯西黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质及函数值的算法尤其是多值函数的分支函数的函数值的算法（即已知初值求终值的计算公式提供的算法）学习要点及基本要求1能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系： 在一点连续，可微与解析的关系（可微连续；解析可微）； 可微与解析两个概念之间的联系和差异； 可微和解析与复变
7、函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别（进而体会实部、虚部两个二元实函数所满足的柯西黎曼条件的作用）2熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则）3能熟练运用实部、虚部两个二元实函数所满足的条件来讨论具体函数的可微性和解析性；能熟练地运用复变函数导数和解析的运算法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况及讨论方法希望大家要熟习： ；都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析 ；在都在上处处连续但仅在原点可微，从而它们都在上处处不解析；在都在上处处连续但仅在一点可微，从而它们都在上处处不解析
8、 （常函数）；多项式函数；指数函数；正弦和余弦函数和；双曲正弦和余弦函数和都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数） 有理函数；正切、余切、正割和余割函数（即、和）都在其自然定义域内解析4熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式：函数在点可微，则理解柯西黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性5归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的： 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法
9、），简洁的判断某些函数的不解析性，例如，等都在复平面上不解析；一般地，若在区域内解析，且不恒为常数，则，等都在内不解析6熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质7通过幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数学习，达到下面的目的：（1）初步了解和体会研究初等多值函数的基本思想（即将其分支函数单值化）；初步掌握将初等多值函数单值化的基本方法（即寻找支点产生多值的客观原因，再取连接支点的适当支割线消除多值实现原因的方法）；（2）了解支点的特点（即动点单独围绕支点
10、变化时，函数值会发生变化）这是判断支点的依据，了解支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化）这是作支割线的依据，并理解它们在将多值函数单值化中的作用；（3）知道多值解析函数的含义（即在单值化区域内，每个分支函数都是单值解析函数），据此说明为什么教材中涉及的具体多值函数除幅角函数外，其他的都是多值解析函数8熟练掌握将幅角函数，对数函数，一般幂函数（包括根式函数）以及稍复杂一点的两类常用根式类函数和单值化的方法；会根据具体问题的要求分出它们的单值分支函数，并会利用下面列举的已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，快速地求出满足初值条件要求的单
11、分支函数在另一指定点处的函数值五类已知初值在连续变化意义下求终值的公式（注意：这些公式也是判断支点的手段；这些公式中后面的四类在今后的函数值的计算中经常用）：（1）一般公式（2个）： 设是某多值函数在区域内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定，比如是单值化区域，就是单值的，否则就是多值的），是内从到的任一条有向简单曲线，若已知在点的值为（称为初值），则此分支函数在另一点处的值（称为终值）要按下面的公式计算：其中表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 在上述公式中，若进一步还有（），则借助复数的极坐标表示以及下面的幅角类函数的已知初值求终值的公式，还可得下面的一般公式：设是某多
12、值函数在区域内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），且（），是内从到的任一条有向简单曲线，若已知在点的值为（称为初值），则此分支函数在另一点处的值（称为终值）还可按下面的公式计算：，其中是初值中的因子，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（2）幅角类函数的公式（2个）： 设是幅角函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题
13、确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（3）对数类函数的公式（2个）： 设（称为确定分支的结构表示）是对数函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中，是内从到的任一条有向简单曲线， 表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中，是内
14、从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（4）根式类函数的公式（2个）： 设（称为确定分支的结构表示）是根式函数在区域内的一个分支函数，已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子，是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是根式类函数在区域内的一个分支函数，已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子，是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量特别，取（多项式函数）或（有理函数）时，上述公式就是两类常用根式类函数分值函数
15、已知初值求终值的公式（5）一般幂函数的公式： 设（称为确定分支的结构表示）是一般幂函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子（具体可用计算），是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量9在8涉及的计算中，幅角的连续改变量的计算是关键，下面列举的幅角连续改变量的计算公式是具体计算中常用的（希望熟练掌握）：设是一条有向简单曲线，和在上连续，且，则；特别，取，则注意到，有取，则注意到，有第三章 复积分的学习要点 复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看
