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1、第三节圆的方程第三节圆的方程第九章第九章课标解读1.了解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.圆的定义及方程定义 平面上到的距离等于的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)确定圆的标准方程的三个要素:圆心的横坐标、纵坐标及半径圆心:半径:一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆的一般方程形式上的特点:(1)x2项和y2项的系数相等且为1;(2)没有xy项圆心:(-)半径:定点定长(a,b)r微思考写出圆x2+y2+Dx+Ey
2、+F=0和两坐标轴都相切的条件.2.点与圆的位置关系已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆内.=常用结论1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.对点演练1.判断下列结论是否正确
3、,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()2.设甲:实数a0,且圆C的半径r=2a,A(a,0).所以A(2,0)或A(6,0).因为A在直线x-y-4=0的左上方,所以A(2,0),所以C(2,4),r=4,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.故选D.方法总结求圆的方程的两种方法 对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为.(2)过四点(0,0),(4,0),(-
4、1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.即圆心M的坐标为(1,-1).设M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)设圆心M(a,1-2a),M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(2)(方法1)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,(方法2)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.
5、若圆过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平考点二考点二与与圆有关的有关的轨迹迹问题典例突破例2.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.方法总结求与圆有关的轨迹问题的常用方法 对点训练2(1)若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=16(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的
6、轨迹方程为.考点三考点三与与圆有关的最有关的最值问题(多考向探究多考向探究)考向1.借助目标函数的几何意义求最值典例突破例3.(1)(2023安徽安庆模拟)已知点A(-4,1)在直线l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(mR)上的射影为点B,则点B到点P(3,-1)距离的最大值为()(2)(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()答案(1)C(2)C解析(1)将直线l的方程整理得(2x-y-1)m+(x+y-5)=0,直线l恒过点C(2,3).由点A(-4,1)在直线l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(mR)上的射影为点B,
7、知ABBC,则点B在以线段AC为直径的圆上,该圆的圆心坐标为D(-1,2),(2)(方法1)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,方法总结与圆有关的最值问题的三种几何转化法 答案D对点训练3(2023北京顺义一模)已知点A,B在圆O:x2+y2=16上,且|AB|=4,P为圆O上任意一点,则的最小值为()A.0B.-12C.-18D.-24考向2.利用对称性求最值典例突破例4.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,
8、圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()答案A解析由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3)(图略),名师点析形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对
9、点训练4已知圆O:x2+y2=1,A(3,3),点P在直线l:x-y=2上运动,则|PA|+|PO|的最小值为.解析点A与点O在直线l:x-y=2的同侧,设点O关于直线l:x-y=2的对称点为O(x,y).kOO=-1,OO所在直线方程为y=-x.考向3.建立函数关系求最值典例突破例5.设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则的最大值为.答案12名师点析利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|的最大值为.答案10
