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1、第八节函数与方程第八节函数与方程第三章第三章课标解读1.理解函数的零点与方程的根的关系.2.理解函数零点存在定理,并能进行简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几个等价关系数形结合方法的依据 f(x)=0 方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.微点拨函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点,而是公共点的横坐标,也就是说,函数的零点不是一个点,而是
2、一个实数.2.函数零点的判定(函数零点存在定理)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么,函数y=f(x)在区间内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的解.f(a)f(b)0(a,b)f(c)=0 c微思考如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)0.事实上,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 类型0=00)的图象与x轴的公共点无公共点零点个数(x1,0),(x2,0)(x1,
3、0)2 104.二分法的定义 求函数零点近似值的一种方法 对于在区间a,b上图象连续不断且f(a)f(b)0,则y=f(x)在(a,b)内一定没有零点.()(3)奇函数若存在零点,则零点个数不一定为奇数.()(4)若函数y=f(x)在区间a,b上的图象连续不断,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点.()答案 C 解析因为函数y=ax+b的图象经过点(2,0),所以2a+b=0,即b=-2a,所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,令-2ax2-ax=0,解得x1=0,x2=-,所以函数y=bx2-ax的零点是0和-.2.若函数y=ax+b(a0)的图象经
4、过点(2,0),则函数y=bx2-ax的零点是()答案 D3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+)上的零点有2 023个,则f(x)的零点的个数为()A.2 023B.4 045C.4 046D.4 047解析 因为f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+)上的零点有2 023个,所以f(x)在(-,0)上的零点也有2 023个,又因为f(0)=0,所以f(x)的零点个数为4 047,故选D.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一函数零点所在区函数零点所在区间的判定的判定典例突破答案 (3,4)例1.(2023辽宁葫芦岛一模)请估计函数 零点所在的一个区间.突破技巧判断函数零
5、点所在区间的方法(1)利用函数零点存在定理:即通过验证函数在区间端点处的函数值是否异号来判断该区间内是否存在零点.(2)数形结合法:通过画出函数的图象,观察图象与x轴公共点所在的区间进行判定.对点训练1已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(kZ)内,则k=()A.1B.2C.3D.4答案 C 解析因为函数f(x)的定义域为(0,+),且它在区间(0,+)上单调递增,所以函数f(x)至多有一个零点.又f(3)=lg 3-10,所以f(x)的零点在区间(3,4)内,故k=3.考点二考点二函数零点个数的判定函数零点个数的判定典例突破(2)函数f(x)=|x-4|-的零点的个
6、数为()A.0B.1C.2D.3例2.(1)(2023广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x0,2)时,则f(x)在0,8上的零点个数为()A.4B.6C.8D.9答案 (1)D(2)D解析(1)函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2,当当x0,2)时,f(x)有两个零点,f(x)在0,8)上的零点个数为24=8,又f(8)=f(0)=0,f(x)在0,8上的零点个数为9.故选D.突破技巧函数零点个数的判断方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的个数即为零点的个数;(2)函数零点存在定理法:若函数在a,b上连续不
7、断且f(a)f(b)0,可结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)确定零点的个数;(3)图象交点法:将函数构造为两函数的差,画出两个函数的图象,其交点的个数就是原函数零点的个数;(4)换元法:形如f(g(x)的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0时t的值,再根据g(x)的图象及性质确定g(x)=t时x的值的个数,即f(g(x)的零点的个数.对点训练2已知函数f(x)=则函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数是.答案 3 解析函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数等价于函数f(x)与y=ln(x-1)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数f(x)与y=ln(x-1)的图象
8、,如图.由图可知,函数f(x)与y=ln(x-1)的图象有3个交点,故函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.考点三考点三函数零点的函数零点的应用用(多考向探究多考向探究)考向1.根据零点个数求参数典例突破(2)已知函数f(x)=ln|x|-|x-1|,若函数y=f(x)-m有三个零点,则实数m的值为.答案(1)D(2)-2(2)函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+).所以函数f(x)在区间(-,-1)上单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,且f(-1)=-1-1=-2.作出函数f(x)的图象,如图所示.显然,当m=-2时,直线y=m与函数f(x)的图象有三个交点,即函数y=f(
9、x)-m有三个零点.突破技巧已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.对点训练3(1)已知函数f(x)=若方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,则实数k的取值范围是()A.(1,3)B.1,3)C.(0,3)D.(-,3)f2(x)+bf(x)+c=0有6个互不相等的实数解的充要条件为.答案(1)B(2)-2b0且c=0画出f(x
10、)在(0,+)上的图象,利用偶函数的对称性,易得f(x)在其定义域上的图象,如图.由图象可知,当t=0时,f(x)=t有两个解;当0t2时,f(x)=t有四个解.设f(x)=t,则原方程变为t2+bt+c=0,则方程t2+bt+c=0的两根t1,t2满足t1=0且0t22.又t1=0时,c=0,且t2=-b,而=b2-4c,则由题意得 所以-2b0且c=0.考向2.根据零点范围求参数典例突破例4.已知函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案 C解析 由题意得f(x)在(0,+)上单调递增,则f(1)f(2)=(0-a)(3-a)0,解得0abc0)满足f(a)f(b)f(c)0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式可能成立的是()A.x0aC.x0b D.x0cABC
