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1、第七节函数的图象第七节函数的图象第三章第三章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.2.会画简单函数的图象.3.会运用函数的图象研究函数的性质,解决方程与不等式问题.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.利用描点法作函数图象的方法步骤2.利用图象变换作函数的图象(1)平移变换f(x)+k f(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)对称变换 互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称-f(x)f(-x)-f(-x)logax(x0)微点拨对称变换的规律(1)将解析式中的y变为-y,所得函数图象
2、与原函数图象关于x轴对称;(2)将解析式中的x变为-x,所得函数图象与原函数图象关于y轴对称;(3)同时将解析式中的x,y变为-x,-y,所得函数图象与原函数图象关于原点对称.(3)翻折变换|f(x)|f(|x|)(4)伸缩变换 微点拨图象变换时,横坐标的伸缩变换规律可简记为:若解析式中x前面的系数变为原来的倍,那么图象上点的横坐标就变为原来的 倍.f(ax)af(x)常用结论1.一个函数图象的自对称问题(1)若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,b)对称.2.两个函数
3、图象的互对称问题(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(2)将函数f(x)=32x的图象向右平移1个单位长度可得到g(x)=32x-1的图象.()(3)函数y=lg x的图象关于直线x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x).()(4)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()2.二次函数y=2x2的图象向
4、上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得图象对应的函数表达式为()A.y=2(x+1)2+2B.y=2(x-1)2+2C.y=2(x+1)2-2 D.y=2(x-1)2-2答案 B解析将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2x2+2的图象,再向右平移1个单位长度得函数y=2(x-1)2+2的图象,故选B.3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2f(x+t)4的解集为(-1,2),则实数t的值为.答案 1解析由图象可知不等式-2f(x+t)4即为f(3)f(x+t)0,故选A.突破技巧根据函数解析式辨别图象的基本方法 对点训练2(2023广西南
5、宁二模)函数f(x)=的图象大致是()答案 C 考向2.根据图象辨别函数解析式典例突破例3.下图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图象,则该函数是()答案 A 突破技巧由函数图象确定其解析式的基本方法(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照;(2)从图象的增减变化趋势,分析函数的单调性,与函数解析式对照;(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与函数解析式对照;(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与函数解析式对照.对点训练3(2023天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()答案 D 解析(方法1)由函数图象知函数f(x)为
6、偶函数,故排除A,B;又 0恒成立,故排除C,故选D.(方法2)当x=0时,选项A,B中的函数值均为0,故排除A,B;又当x=2时,0,故排除C,故选D.考点三考点三函数函数图象的象的应用用(多考向探究多考向探究)考向1.根据图象研究函数的性质典例突破例4.(2023北京大兴三模)已知函数f(x)对任意xR都有f(x+2)=-f(x),且f(-x)=-f(x),当x(-1,1时,f(x)=x3.则下列结论正确的是()A.函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(kZ)对称B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2k(kZ)对称C.当x2,3时,f(x)=(x-2)3D.函数y=|f(x)|的最小正
7、周期为2答案 D 解析f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为4.又f(-x)=-f(x),f(x+2)=f(-x),故函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x(-1,1时,f(x)=x3,画出f(x)的图象如下:A选项,函数y=f(x)的图象不关于点(1,0)中心对称,A错误;B选项,函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称,B错误;C选项,当x2,3时,x-20,1,则f(x)=-f(x+2)=-f(x-2)=-(x-2)3,C错误;D选项,由图象知y=f(x)的最小正周期为4,又|f(x+2)|=|-f(x)|=|f(x)|,故函数y=|
8、f(x)|的最小正周期为2,D正确.故选D.方法点拨根据图象判断函数性质的基本方法首先根据函数解析式画出函数图象,然后借助图象分析判断函数的性质:(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最大值与最小值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的增减特征,分析函数的单调性;(4)从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点.对点训练4(多选)某同学在研究函数f(x)=(xR)时,给出了下面几个结论,其中正确的有()A.f(x)的图象关于点(-1,1)对称B.f(x)是单调函数C.f(x)的值域为(-1,1)D.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点BCD考向2.根据图象研究方程或不等式问
9、题典例突破例5.已知f(x)=若|f(x)|ax在x-1,1时恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-10,+)B.0,1C.-1,0D.(-1,0)答案 C 解析作出函数y=|f(x)|在区间-1,1上的图象,如图所示.因为当x-1,1时,|f(x)|ax恒成立,所以y=|f(x)|的图象在y=ax图象的上方突破技巧函数图象在解决方程与不等式问题中的应用(1)当方程与基本性质有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)和g(x)图象的交点的横坐标.(2)不等式的恒成立问题可以转换为函数图象的高
10、低问题,例如不等式f(x)g(x)恒成立,亦即函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方,不等式f(x)g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象上方的部分所对应的自变量的取值集合,不等式f(x)0的解集是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.答案 B 解析不等式f(x)0,即log2(x+1)|x|.分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,如图所示.它们的图象都经过点(0,0)和(1,1),由图象可知log2(x+1)|x|的解集是(0,1),即不等式f(x)0的解集是(0,1).考向3.根据图象研究取值范围典例突破作出函数f(x)的图象,如图所示.
11、名师点析利用函数图象求多个变量的和(或积)的取值范围时,注意结合图象,利用对称性,发现其中两个变量的和(或积)为定值,从而对原式进行转化,再结合图象,确定其余变量的取值范围,即可求得相应范围.对点训练6(2023湖北武汉一模)已知函数f(x)=若f(x)的值域是R,则实数a的取值范围是()A.(-,0B.0,1C.0,+)D.(-,1答案 B 解析在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=x+1和g(x)=2x的图象如下图所示,由图可知,当x=0或x=1时,两图象相交.若f(x)的值域是R,以实数a为分界点,可进行如下分类讨论:当a1,值域也不是R;当0a1时,两图象相接或者有重合的部分,此时值域是R.综上可知,实数a的取值范围是0a1.故选B.
