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1、其他更多更好的资料见微信公众号或小编微信空间初中/高中数学备课组教师 班级 学生 日期 上课时间 学生情况：主课题： 数学归纳法教学目标：1、 理解数学归纳法原理，能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2、 理解数学归纳法证题的两个步骤各起什么作用及相互之间的关系。3、会猜想并用数学归纳法证明与自然数有关的命题。教学重点：理解数学归纳法原理，能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学难点：理解数学归纳法证题的两个步骤各起什么作用及相互之间的关系。考点及考试要求： 教学内容【知识精要】1、归纳法：由特殊事例推出 一般结论 的推理方法，叫做归纳法。 注：逐步考查某个事例的所有可能的情况下，得出
2、一般结论的推理方法叫做完全归纳法； 考查某个事例的部分情况下，得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。2、数学归纳法证题的步骤：（1）（归纳基础）证明当n取第一个值 时，命题成立；（2）（归纳假设）假设当 （）时命题成立，证明当 时命题也成立，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。注：1）、在第二步的证明中 必须用到前面的归纳假设 ，否则就不是数学归纳法了。2）、数学归纳法只适用于 和正整数有关 的命题。3、数学归纳法的应用：（1）证明与自然数n有关的恒等式和不等式； （2）证明整除问题；（3）证明与正整数n有关的几何问题； （4）数列的通项公式、前n项和公式的猜证问
3、题； （5）存在性问题，会应用归纳法的原理进行归纳和猜想。【热身练习】1、 用数学归纳法证明真命题：“凸n变形的内角和公式形式是”时，（1）第一步n的值应取 n=3 ； （2）第一步m的值应取 m=1 。2、设，则= 。3、用数学归纳法证明：，第一步左式= ，右式= 。4、用数学归纳法证明，在假设时等式成立，进一步要证明时的等式为 5、用数学归纳法证明对于正奇数n，都能被（）整除，在假设时结论成立，进一步要对于n= 时，验证结论也成立。6、设数列满足，用数学归纳法证明的第二步中，设时结论成立，即，那么当时，要证明的等式是也成立。7、用数学归纳法证明“”。（1）则从到时，左式要添的项是 （ D
4、）A、 B、C、 D、（2）则从到时，右式要添的项是 （ C ） A、 B、 C、 D、【精解名题】1、数学归纳法证明恒等式、不等式问题例1、 用数学归纳法证明：当时，证明：（1）当时，左式=1，右式=1，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，当时，左式=右式，也成立。综上所述，时，等式成立。点评：用数学归纳法证明恒等式时，先要理清等式是否与正整数n有关？其次关键在于弄清等式两边的构成规律，随着n的变化下，各项怎样变化？等号两边的项数变化规律是什么？变式练习：证明：当时，。证明：（1）当时，左式=1+1=2，右式=，等式成立；（2）假设时， 等式成立，当时，左式=右式，等式也成立。综上所述，当
5、时，等式成立。例2、 证明：。证明：（1）当时，左式=，右式=，左式-右式=-=，不等式成立；（2）假设（）时，命题成立，即，则当时，左式=，而， 左式也成立。综上所述，原不等式对一切且均成立。点评：不等式两边都是关于n的式子，第一步验证时，两边应分别验算；递推步必须要用到假设步。2、数学归纳法证明等差、等比数列问题例3、（1）数列满足，证明数列是等差数列；（2）是数列的前n项和，对于，满足，证明数列是等比数列。分析：猜想通项公式，数学归纳法完成证明。证明：（1）由得猜想：，以下用数学归纳法证明：，符合通项公式；假设，都有，则也成立。由、知（）都成立；于是，数列是等差数列。（2），猜想：，以下
6、用数学归纳法证明：，符合通项公式；假设，都有，则当时， ， ，得：，由假设得：，代入得：也成立。由、知（）都成立；于是，数列是等比数列。变式练习：设正数数列的前n项和，求通项的公式。解：由题得：，猜想得：证明如下：时，符合； 假设时，成立，则当时，即：， 也成立。综上所述，点评：有关的数列命题，由于，此式涉及到递推关系往往与数学归纳法之间有联系，要耐心去试验，发现公式，并用数学归纳法给出证明。3、数学归纳法证明整除问题例4、，用数学归纳法证明：（1）能被13整除； （2）能被9整除。证明：（1）时，能被13整除；假设时能被13整除，则当时，也能被13整除综上所述，命题成立。（2）时，原式=27
7、，能被9整除；假设时，能被9整除，则当时，也能被9整除。 综上所述，命题成立。4、概念辨析例5、课堂上，老师提出等式：成立吗？小明思考后，作出正确的结论判断，并上黑板给出解答过程：设时成立，即，则，即时等式也成立，对小明的解答成果，作出你的评判？解：错误，等式对于就不成立。变式练习：某个命题与自然数有关，若时，命题成立，则可推得当时该命题成立，（1）现已知时该命题不成立，那么可推得为多少时，命题不成立？ （2）为了推断时该命题不成立，需为多少时，命题不成立？解：（1）n=2007； （2）n=20115、数学归纳法证明存在性问题例6、是否存在常数，使得等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
8、解：假设存在常数，使题设等式成立，则分别取，等式也应成立，即：，解得即对，等式成立。证明略。【备选例题】例7、已知数列满足：，。（1）写出数列的前4项； （2）猜测数列的通项公式，并加以证明；（3）是否存在非零常数，使得成为等差数列？若存在，写出应满足的关系式；若不存在，说明理由。答案：（1）； （2）猜想，得；（3）存在，。例8、已知一幂函数与它的反函数为同一函数，且在上单调递减，记（1） 分别求出使下列两个不等式各自成立的最小自然数及，使得；（2） 求最小自然数，使对一切，不等式成立。答案：（1）设幂函数，则它的反函数为，则，即，由题得：，当时，都有，而，则使得成立的最小。同理：使得成立的
9、最小。（2）猜想：，证明略。【巩固练习】1、下列各式中可以用数学归纳法证明的是 （ C ）A、B、二次函数的图像是轴对称图形C、11的奇数次方与1的和一定能被12整除D、2、欲用“数学归纳法”证明“对于足够大的自然数n，总有”，则所取的第一个n的值，最小的应是 （ A ）A、1 B、6 C、10 D、143、探索图中规律则根据规律，从2007到2010箭头的方向依次为 （ D ）A、 B、 C、 D、4、若数列满足前八项的值各异，且对任意都成立，则下列数列中可以取遍前八项值的数列为 （ B ）、B、 C、 D、5、用数学归纳法证明：证明略。6、当时，求证：证明略。7、用数学归纳法证明：能被64
10、整除。证明略。8、已知数列是等差数列， 。(1)求数列的通项；(2)设数列的通项,记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。答案：（1） （2） 【自我测试】1、对某些，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是 （ D ）A、n=1时， B、n=2时，C、n=1时， D、n=2时，2、用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1) 时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是( C )。A、2k+1 B、 C、 D、3、设平面上的k条直线，它们的交点最多有个，若条直线，则=（ ）、4、某个与正整数n有关的数学命题P(n)，如果当时P(n)不成
11、立，则可推得当时P(n)也不成立，现已知P(9)成立，则可推得 （ B ）A、P(8)不成立 B、P(8)成立 C、P(10)不成立 D、P(10)成立5、数列中，且，则= 6、已知数列满足，用数学归纳法可以证明：，其中第二步，为推证公式所要用到的等式有： 。7、猜想：，第n个等式是 8、观察下列不等式组：，则可归纳出一般结论是 9、已知对于成立，则的值分别为 10、如果数列、都是等差数列，是常数，那么也是等差数列；对于各项均为正数的两个等比数列，则类似的真命题是：如果数列、都是等比数列，是常数，那么也是等比数列。11、若，设，且，则通过计算，猜想= 12、用数学归纳法证明：（1）（2）能被6整除.答案：略。13、已知数列满足，（1）求； （2）猜想的通项公式，并加以证明。答案：（1），；（2） 14、设数列的前n项和为，且方程有一根为（1）求的值； （2）猜想的通项公式，并证明。答案：（1）； （2）15、设，对任意正整数和，总有，又。（1）求的值； （2）猜想的表达式，并证明你的猜想。答案：（1）， （2）微信公众号：数学第六感；微信号：AA-teacher
