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1、6.构造等边三角形1公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC = CD = 10米，ZB = ZC = 120。,ZA = 45。.请你求出这块草地的面积?答案：见解析解析：延长DC. AB交于E，连结DB，ZABC = ZBCD = 120。. ZEBC = ZECB = 60。，AEBC是等边三角形, DC = CB ,. ZCDB = ZDBC = 30。，. ZDBA = 90。，BD 二 10朽, ZA = 45。，. AB = 10，.S二-(10 J3 二150，SAABD 2-二-S2 ABDEABCD这块草地的面积为+ 253 ）平方米.1 1 _1_二10 X 103
2、 二 25J3，2 22.如图：已知AB = 10,点C、D在线段AB上且AC = DB = 2 ； P是线段CD 上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边口AEP和等边 PFB，连结EF，设EF的中点为G ；当点P从点C运动到点D时，则点G 移动路径的长是 答案：3解析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形, 得出G为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 .再求 出的长，运用中位线的性质求出 的长度即可.解：如图，分别延长、交于点.z =z =, z =z =,四边形为平行四边形，与 互相平分.为 的中点,正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以
3、 的运行轨迹为三角形的中位线= = ,=，即的移动路径长为3四边形 ABCD，有BC = CD , ZB = ZC = 120。, ZA = 45。.请你求ZD =答案：75解析：延长DC、AB交于E，连结DB ,. ZABC 二上BCD 二 120。，. ZEBC 二 ZECB 二 60。,.AEBC是等边三角形，. DC 二 CB ,. ZCDB 二 ZDBC 二 30。,. ZDBA 二 90。,.厶A 二 45。，. ZADB 二 90。- 45。二 45。,. ZADC 二上ADB + ZBDC 二 45。+ 30。二 75。4.如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，口ABC是
4、等边三角形.ZADC = 30。，AD = 3， BD = 5，则 CD 的长为S答案：4解析：首先以CD为边作等边CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出 BCD笥 ACE，进而求出DE的长即可.解：如图，以CD为边作等边口CDE，连接AEZBCD = ZBCA + ZACD = ZDCE + ZACD = ZACE ,在口BCD和口ACE中，AC = BCv ZACE = ZBCDCD = CE9 AC(SAS), aE又 ZADC = 30。,.ZADE = 90。.在RtADE 中，AE = 5, AD = 3 ,于是 DE =、：AE2 - AD2 = 4 ,CD = DE = 4
5、 .5如图所示，在口ABC中，AB = AC, D、E是ABC内两点，AD平分ZBAC ZEBC = ZE = 60。，若 BE = 6， DE = 2，则 BC 的长度是一答案：8解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE = 6，DE = 2，进而得出BEM 为等边 三角形，口EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFnBC于F，AB = AC, AD 平分 ABAC , ： AN 丄 BC, BN = CN , ZEBC = ZE = 60。, ：BEM为等边三角形， EFD为等边三角形，4BE = 6, DE = 2 ,：
6、DM = 4 ,. BEM为等边三角形，Z.Z EMB = 60。,AN 丄 BC ，.ZDNM = 90。,/.ZNDM = 30。,NM = 2 ,/. BN = 4 ,/. BC = 2BN = 8 ,6.如图 六边形 ABCDEF 中 每一个内角都是120。, AB = 12, BC = 30, CD = & DE = 28.求这个六边形的周长为答案：116解析：凸六边形ABCDEF ,并不是一规则的六边形，但六个角都是 120。,所以通过适当 的向外作延长线 可得到等边三角形 进而求解.解：如图,分别作直线AF、ED、BC的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P .六边形ABCDE
7、F的六个角都是120, 六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60.口PGH、BGA、DHC、EFP都是等边三角形.GC Bc 12, CJ 8 .GH 12 + 30 + 8 50, FE PE PH - ED - DH 50 - 28 - 8 14, AF PG - PF - AG 50 -14 -12 24.六边形的周长为：24 +12 + 30 + 8 + 28 +14 116 .7.如图，已知 ZABC 120。, BD 平分 /ABC, ADAC 60。，若 AB 2, BC 3 , 则 BD 的长是.答案：5解析：在CB的延长线上取点E，使BE AB，连接AE，则可证得*BE为
8、等边三角 形，再结合条件可证明口ABD= AEC，可得BD CE，再利用线段的和差可求得CE , 则可求得BD .解：在CB的延长线上取点E，使BE AB，连接AE,/ABC 120。 ,ABE 180- /ABC 60。, BE AB , abe为等边三角形，:,AE = AB, ZBAE = ZE = 60。,ZDAC = 60。,:厶DAC = BAE ,上BAD = ZBAC + ZDAC, ZEAC = ABAC + ZBAE , :上BAD = ZEAC , BD 平分 ZABC ,.，ZABD 二 ZE , 在*BD和AEC中，ZAD = ZEAC AB = AE,ZABD =
9、ZEJ.ABDAEC(ASA),CE = BE + BC = AB + BC = 3 + 2 = 5 ,BD = 5 ,8.如图,在口ABC中,AB = AC, D、E是口ABC内两点，AD平分ZBAC, ZEBC = ZE = 60。,若 BE = 60cm, DE = 2cm ,则 BC =A答案：62解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE = 6, DE = 2 ,进而得出BEM为 等边三角形，EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.解：延长ED交BC于M ,延长AD交BC于N ,作DF BC ,AB = AC , AD 平分 ZBAC ,AN 丄 BC, BN =
10、CN , ZEBC = ZE = 60。, BEM为等边三角形， EFD为等边三角形，4BE = 60, DE = 2 ,:DM = 58 ,.BEM为等边三角形，/.ZEMB = 60。,AN 丄 BC ,/ZDNM = 90。, /.ZNDM = 30。, /. NM = 29 , /. BN = 31 , /. BC = 2BN = 62 , 故答案为 629如图,过边长为1的等边口ABC的边AB上一点P，作P C于E, Q为BC延长线上一点，当PA = CQ时,连PQ 交AC边于D ,则DE的长为_（注：若答案不是整数，请化为小数）答案：0.5解析:过P作PFBC交AC于F，得出等边三
11、角形APF，推出AP = PF = QC , 根据等腰三角形性质求出EF = AE，证口PFD气QCD，推出FD = CD，推出DE = AC 即可.2解：过P作PBC交AC于F. .PBC，口 ABC是等边三角形，:仏PFD = ZQCD,APF是等边三角形,.AP = PF = AF ,PE 丄 AC , AE = EF ,AP = PF, AP = CQ , PF = CQ .在口PFD 和口QCD 中，2PFD = ZQCD 上PDF = ZQDC ,PF = CQ.口 PFD空口 QCD(AAS),FD = CD ,AE = EF , EF + FD = AE + CD , AE +
12、 CD = DE =1 AC ,2AC = 1 ,工 DE = - = 0.52 -10.如图，ABC中，AB = AC, AD平分ZBAC, D、E是口ABC内两点，且ZECB = ZE = 60。，若 CE = 8 DE = 2，则 BC =J 答案：10解析：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N ，根据等腰三角形的性质得出CE = 8 DE = 2，进而得出口CEM为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案. 解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ,AB = AC，AD 平分 ABAC， ： AN 丄 BC, BN = CN， ZECB = ZE = 60
13、。， 冷CEM 为等边三角形，Fe=8 DE=2 ，:DM = 6，. CEM为等边三角形，AZ EMC = 60。，AN 丄 BC ，aZDNM = 90。，AzNDM = 30。，a NM = 3，a CN = 8-3 = 5 ，a BN = 5，a BC = 2BN = 10 .故答案为： 1011.如图，凸四边形ABCD满足条件：AB = AD，ZBAD = 60。，ZBCD = 120。那么AC BC + CD .（填“大于”或“小于”或“等于”）答案：等于解析：延长DC至I点E，使得BC = CE，连接BE和BD，根据已知条件和所作辅 助线可得口ABD与口BCE均为等边三角形，证明
14、口ABC和口DBE 全等即可证明；ZBCD二120。 ZBCE 二 180。120。= 60。又 BC = CE , AB = AD, /BAD = 60。-hABD与口BCE均为等边三角形.Bd = AB,BE = BC, /ABD = /EBC = 60。/.ZABD + /DBC = /EBC + /DBC ,即 /ABC = /DBE 在*BC和口DBE中AB = BD ZABC = ZDBE ,BC = BEDBE DE = CD + EC = CD + BC/. AC = BC + CD .故答案为：相等12.已知:如图，等边口ABC中，AB = 1, P是AB边上一动点，作PE丄BC，垂足为E ； 作EF丄AC，垂足为F ；作FQ丄AB，垂足为Q .(1) 设BP = x
