《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量解答题专项4第3课时翻折问题与探索性问题课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量解答题专项4第3课时翻折问题与探索性问题课件新人教A版（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时翻折问题与探索性问题考点考点一一 翻翻折问题折问题例1(2024山东烟台模拟)如图,在ABC中,ABC=90,BC=2,ACB=60,E为AB中点,过点E作ED垂直AC于D,将ADE沿ED翻折,点A到达点P的位置,且使得平面PDE平面BCDE,点M是棱PC上一点,且BM平面PDE.(2)求二面角M-BE-C的余弦值.解(1)因为平面PDE平面BCDE,平面PDE平面BCDE=DE,由题意可知,PDDE,又PD平面PDE,所以PD平面BCDE,又CD平面BCDE,所以PDCD.所以PDC=90.过点B作BQ垂直CD于点Q,连接QM,因为CDDE,所以BQDE,又BQ平面PDE,DE平面P
2、DE,所以BQ平面PDE,又BM平面PDE,BQBM=B,BQ,BM平面BQM,所以平面BQM平面PDE,又因为平面BQM平面PDC=QM,平面PDE平面PDC=PD,所以PDQM.因为BC=2,DCB=60,所以CQ=1.(2)因为平面PDE平面BCDE,平面PDE平面BCDE=DE,PD平面PDE,PDDE,所以PD平面BCDE,所以PDDC.又DEDC,以D为坐标原点,以直线DE,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,对点训练1(2024广东潮州模拟)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60,将其沿AB,B
3、C折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.图1 图2(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值.(1)证明在题图2中,由题意得ADBE,CGBE,所以ADCG,所以题图2中的A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,又BEBC=B,BE,BC平面BCGE,所以AB平面BCGE,又AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解连接EC,在菱形BEGC中,因为EBC=60,所以EBC为等边三角形,取BC的中点H,连接EH,则EHBC.因为平面ABC平面BCGE,平面ABC平面BCGE=BC,EH平面BC
4、GE,所以EH平面ABC.如图,以点H为坐标原点,在平面ABC中,过点H作BC的垂线为y轴,以直线BC为x轴,以直线HE为z轴,建立空间直角坐标系,则A(-1,1,0),C(1,0,0),设平面ACG的法向量n=(x,y,z),考点考点二二 与与空间角有关的探究性问题空间角有关的探究性问题例2(2024山东青岛模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面BCC1B1平面(1)求四棱锥A1-BCC1B1的体积;(2)在侧棱BB1上是否存在点E,使得二面角E-AC-B的余弦值为?若存在,说明点E的位置;若不存在,说明理由.(2)取BC的中点O,连接AO,因为AB=AC,所以AOBC.在等腰梯形
5、BCC1B1中,O1,O分别为上、下底边B1C1,BC的中点,有OO1BC,而平面BCC1B1平面ABC,平面BCC1B1平面ABC=BC,OO1平面BCC1B1,于是OO1平面ABC,所以OO1OA.以O为坐标原点,分别以直线OA,OB,OO1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标对点训练2(2024湖北荆门模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是菱形,ABAC,平面AA1B1B平面ABC,平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.(1)证明:A1BB1C;(2)已知ABB1=60,AB=AC=2,直线l上是否存在点P,使A1B与平面ABP所成角的正弦值为?若存在,求B1P的长
6、度;若不存在,说明理由.(1)证明因为四边形AA1B1B为菱形,所以A1BAB1.又因为平面AA1B1B平面ABC,平面AA1B1B平面ABC=AB,AC平面ABC,ACAB,所以AC平面AA1B1B,又A1B平面AA1B1B,所以ACA1B,又AB1AC=A,AC,AB1平面B1AC,所以A1B平面B1AC,又B1C平面B1AC,所以A1BB1C.理由如下:取A1B1的中点D,连接AD,因为ABB1=60,所以AA1B1=60,又A1B1=AA1,所以AA1B1是正三角形,所以ADA1B1.因为A1B1AB,所以ADAB,又平面AA1B1B平面ABC,平面AA1B1B平面ABC=AB,AD平
7、面AA1B1B,所以AD平面ABC,所以ADAC,又ABAC,以A为坐标原点,以直线AB,AC,AD分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),考点考点三三 最最值、范围问题值、范围问题例3(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?(1)证明如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为A
8、C,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.(2)解BFA1B1,BFAB,AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),
9、E(1,1,0),F(2,0,1).设DB1=t,则D(0,t,2),0t2.对点训练3(2024安徽滁州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,BAD=60,PA=AB=2,PAAC,平面PAC平面PBD,M为线段PB上的一点.(1)证明:PA平面ABCD;(2)当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时,求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值.(1)证明连接PO,过点A作PO的垂线,垂足为H,平面PAC平面PBD,且交线为PO,AH平面PAC,AH平面PBD.又BD平面PBD,BDAH.又四边形ABCD为菱形,BDAC,又ACAH=A,AC,AH平面PAC,BD平面PAC,又PA平面PAC,BDPA.又PAAC,ACBD=O,AC,BD平面ABCD,PA平面ABCD.(2)解连接MH,由(1)知AMH为AM与平面PBD所成的角,AH为定值,PA=AB且PAAB,当点M为PB的中点时AM取得最小值,此时sinAMH取最大值.如图,以O为坐标原点,直线OA为x轴,直线OB为y轴,过点O在平面PAC中作平面ABCD的垂线作为z轴,建立空间直角坐标系,则
