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1、第3节圆的方程课标解读了解确定圆的几何要素.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.1 强基础 固本增分2 研考点 精准突破目录索引1 1 强基础强基础 固本增分固本增分知识梳理1.圆的定义与方程 定长(a,b)2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)20)的位置关系:自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.()2.过不共线的三点一定
2、有唯一的一个圆.()3.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第一册习题2.4第2(1)题改编)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆的一般方程是 .x2+y2-16x+6y+48=0 6.(人教B版选择性必修第一册第110页练习B第2题改编)已知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3,则实数a的值为.解析圆的半径r=|CA|=5,所以圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25,化为一般式,得x2+y2-16x+6y+48=0.4 7.(人教A版选择性必修第一册2.4.2节例5)已知线段AB的端
3、点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.题组三连线高考8.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A解析圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,a=,故选A.9.(2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为.(x-1)2+(y+1)2=5(方法二)设圆心M(a,1-2a),M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=
4、1.则圆心M(1,-1),故所求M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.2 2 研考点研考点 精准突破精准突破考点考点一一 求求圆的方程圆的方程例1已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为 ,则圆C的方程为.(x-1)2+(y+1)2=2 对点训练1(2022全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.(x-2)2+(y-3)2=13 考点考点二二 与与圆有关的轨迹问题圆有关的轨迹问题例2已知RtABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)
5、直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)(方法一)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y0.因为ACBC,且BC,AC斜率均存在,所以kACkBC=-1,即 =-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).(方法二)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质,知|CD|=|AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点),所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).对点训练2(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3
6、,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7A所以|OC|5-1=4,当且仅当点C在线段OM上时取得等号.考点考点三三 与与圆有关的最值问题圆有关的最值问题(多考向探究预测多考向探究预测)考向1借助目标函数的几何意义求最值例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求 的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.对点训练3(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y
7、的最大值是()C解析(方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆考向2利用对称性求最值例4已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A解析 由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3)(图略),所以对点训练4已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.考向3利用函数求最值例5设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则 的最大值为.12
