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1、第二章 一元线性回归模型典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为kids = P + P educ + 卩01(1) 随机扰动项卩包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？(2) 上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。例2.已知回归模型E =a + pN +卩，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金(元)，N 为所受教育水平(年)。随机扰动项卩的分布未知，其他所有假设都满足。如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育
2、水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？例3对于人均存款与人均收入之间的关系式S二a + PY +卩使用美国36年的年度数据 t t t得如下估计模型，括号内为标准差：S = 384.105 + 0.067Ytt(151.105)(0.011)R2=0.538& = 199.023(1) P 的经济解释是什么？(2) a和卩的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？(3) 对于拟合优度你有什么看法吗？( 4 )检验统计值？例 4下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？ yt = a + P xtt = 1,2,n(2) y =
3、 a + P Xf + 气 t = 1,2,n/V. y =a + P x + ut = 1,2,ntt t y =( + 卩+ 巴 t = 1,2,n(5) y = cl + 卩t = 1,2,n(6) y = C + 6t = 1,2,n(7) y = C + 卩 x +丄t = 1,2,n(8) =C + B x +丄t = 1,2,n其中带“八”者表示“估计值”。例5对于过原点回归模型Y. =0 1 Xi + u试证明Var(0 )=1G 2u工X 2.例 6、对没有截距项的一元回归模型称之为过原点回归(regression through the origin)。试证明1。如果通过相
4、应的样本回归模型可得到通常的正规方程组工e = 0工 e X = 0.则可以得到01的两个不同的估计值：f =乍，卩：=X22。在基本假设E(卩i) = 0下，f与*均为无偏估计量。3。拟合线护=片X通常不会经过均值点(X,Y)，但拟合线? = X则相反。4。只有W是0 1 的 OLS估计量。解：(1)由第一个正规方程E et = 0得工(Y - fX ) = 0t 1 t或工Y =辽Xt 1t求解得* P 二 Y / X 1由第2个下规方程工X (Y 0 X )二0得t tt工X Y = 0工X 2t tt求解得0 二(工XY)/(工X2)t tt0 (2)对于P二Y / X，求期望E( P
5、i)=1X) = 1E丄(卩 X +卩)X n 1 t t=E) + E(卩)X ntX=X 卩=pX这里用到了 Xt的非随机性。对于0 =(工XY)/(工X2)，求期望t ttE(0 )二 E(工X Y /工X2)t tt=(y1忆 E(X Y)=(真厂忆 EX (0 X + 卩)厶 X 2t t 厶 X 2t 1 t ttt=(yV)0 y(x2) + (xe(卩)=Py X2 1 t y X2 t t 1 tty x y -(3)要想拟合值Y = 0 X通过点(X, Y)，0 X必须等于Y。但0 X = y ; t X,111yX2t通常不等于Y。这就意味着点(X, Y)不太可能位于直线Y = 0 X上。1*相反地，由于0 X = Y，所以直线Y = 0 X经过点(X, Y)。1 1( 4) OLS 方法要求残差平方和最小MinRSS=ye2 =y(Y 0 X )2tt 1 t关于0 求偏导得1RRSS= 2E (Y 0 X )(X ) = 0Q0t 1 t t1即yX (Y 0 X )=0t t 1 tQ 二乞X YX2)1i I i可见P i是OLS估计量。
