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1、导数中有关单调区间问题一、相关结论1、 已知在D上单调递增（或递减）恒成立问题；2、 求的单调增区间（或减区间）解不等式问题：；3、 存在单调增区间（或减区间）有解；4、 在D上不单调的图像在区间D内部穿过x轴的至少有一个非重根在区间内部。二、经典范例例1、（09浙江文科）已知函数f(x)=x+(1-a) x-a(a+2)x+b(a,bR).（I）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；（）若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围。解析：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
2、即函数在上存在零点，有 。练习1：（2009浙江理）已知函数，其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析：（I）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（）当
3、时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、（2009北京理）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）, 曲线在点处的切线方程为.（）由，得，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单
4、调递增，当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.例3、（2009安徽卷文） 已知函数，a0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【解析】(1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在
5、上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 练习2、（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.解：的定义域是(0,+), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.例4、已知
6、函数 （I）若时，求的极值； （）若存在的单调递减区间，求的取值范围； （）若图象与轴交于，的中点为， 求证：解：（I） 当时， 由或。x(0,1)1+单调递增极大值单调递减 时，无极小值。 （）存在单调递减区间， 在内有解，即在内有解。 若，则，在单调递增，不存在单调递减区间； 若，则函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要使在内有解，则应有或，由于，；若，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），在内一定有解。综上，或。 （）依题意：，假设结论不成立，则有，得 由得，即设，则，令，在（0，1）上为增函数。，即，与式矛盾假设不成立，例5、设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于解：（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而有的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为第 7 页 共 7 页
