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1、武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料（六）类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题2若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。解析：画出和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。又由当曲线与曲线相切时，二者只有一个交点，设切点，则，即，解得切点，又直线过切点，得，当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。总结升华：1解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）
2、解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。3在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化,便于问题求解。举一反三：【变式1】若关于x的方程在（1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方
3、程根的个数。设（x1，1）如图：当或时，关于x的方程在（1，1）内有1个实根。【变式2】若02，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和。解析：将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值。设，在同一坐标中作出这两个函数的图象由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，. 所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答3求函数的最大值和最小值思路点拨：可变形为，故
4、可看作是两点和的连线斜率的倍，只需求出范围即可；也可以利用三角函数的有界性，反解求解。方法一：数形结合可看作是单位圆上的动点，为圆外一点，如图，由图可知：，显然，设直线的方程：，解得，方法二：令，总结升华：一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键，故要熟练掌握一些代数式的几何意义：（1）表示动点（x，y）与定点（a，b）两点间的距离；（2）表示动点（x，y）与定点（a，b）两点连线的斜率；（3）求ax+by的最值，就是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。举一反三：【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3
5、）求x2y的最大、最小值。解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。（1）表示点（x，y）与原点的距离， 由题意知P（x，y）在圆C上，又C（2，0），半径r=1。 |OC|=2。 的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2r=21=1。（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率， 设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图： 将整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值为，最小值为。（3）令x2y=u，则可视为一组平行线系， 当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围， 最值必在直线与圆C相切时取得。这时， 。 x2y的最大值为，最小值为。【变式2】求函数的最小值。解析：则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A（1，1），则即为P到A，B距离之和的最小值，【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A B或 C D或解析：如图由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则 ，即下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的斜率则 ，选C。
