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1、第六章 常微分方程数值方法连续问题的离散处理寻求微分方程的解在某些离散点上的值在处的近似值；记号：所求函数在处的（准确）函数值， 计算得到的处的函数（近似）值，节点， 步长； 等步长：；以下若不另作说明，一般总记为等步长。 6.1 初值问题的数值方法考察微分方程初值问题：由微分方程理论可知：若函数关于满足条件，即存在与无关的常数，使初值问题的解存在且唯一；6.1.1 法及其变形1、法 由Taylor 展开式： 作局部化假设： ，并略去项，便有 将此式右端作为的近似，便得到公式 Euler公式两者的差（即略去的项）称为局部截断误差，记作：Euler公式也可由其他方法导出，例如由第四章数值导数公式
2、，可有：；解出，并由 替换，便可得Euler公式。又如，根据Newton-leibniz公式：将以“0次插值多项式”替换，即以代入积分，得到数值积分（左矩形）公式，及其误差： 又得到与Taylor 展开式相同的表达式，从而又导出Euler公式。 几何意义折线法若一个公式的局部截断误差为，则称该公式的精度为阶，或该公式为阶公式。Euler公式是1阶公式。注意，以上的截断误差是在局部化假设的前提下得到的，即认定。倘若在每一步都按局部化假设，我们有Euler公式的总体截断误差： 2、后退法若取数值导数公式： 与前相同的推导过程，可以得到 在局部化假设的前提下截去局部截断误差 便得到后退法公式：注意到
3、此公式中的右端也有，需要求解关于的方程才能得到。因此将这类公式称为隐式公式，而将可以通过直接计算得到的公式称为显式公式。后退公式是一阶隐式公式，Euler公式是1阶显式公式6.1.2 多步法1、 梯形公式：在式 右端的积分中，取梯形积分公式，有由此，并据微分方程，可得：梯形公式 局部截断误差： 这是一个2阶隐式公式。2、 Simpson公式：在式 右端的积分中，取Simpson积分公式，有由此，并据微分方程，可得：Simpson公式 局部截断误差： ； 与以前的公式不同，用Simpson公式计算，必须有前2步的函数值：和。因此这种方法称为2步方法，而为启动此算法所需的最初的2个函数值：称为表头
4、。更一般的，若计算必须有至少前2步函数值，则这种方法称为多步法。具体地，若计算必须有前k步的函数值，则这种方法称为k步方法，而为启动该方法所需的最初的k个函数值：称为该方法的表头。与此相对，以前的方法计算，只须前1步的函数值，便称为单步方法。因此，Simpson公式是2步、4阶、隐式方法。3、 Adams方法（线性多步法）在式 右端的积分中，若取具有k+1节点的插值多项式近似替代作为被积函数，导出初值问题的求解方法称为Adams方法。（1）显式Adams方法Adams-Bashforth公式取处的构造插值多项式取代：其中。由于，有由此（以后为方便计，记），可得显式的多步法Adams-Bash
5、forth公式及其局部截断误差 这是步、阶的显式公式。下表是的 的数值（注意：）011123-121223-16532455-5937-947201901-27742616-1274251以下是 的公式推导过程：作变量代换：，以为变量，当的变化区间为时，的变化区间为，且 ，有（2）隐式Adams方法Adams-Moulton公式若取处的构造插值多项式取代，与前一样的方法，可得隐式的多步法Adams-Moulton公式及其局部截断误差 这是步、阶的隐式公式。下表是的 的数值（注意：）：011121121258-1324919-514720251646-264106-19述评：从表可见，对相同的，
6、相同，而，特别是：，而有若干，因而在存在计算误差时，由前步导致的误差显然隐式公式要比显式公式小（显式公式对前步的误差会被放大，而显隐式公式则不会），而且局部截断误差也是隐式公式要比显式公式小，结论：隐式公式的稳定性一般比显式公式好。6.1.3 待定系数法利用 展开式比较有关项的系数，可以直接导出公式待定系数法。例：求以下数值公式的系数使公式具有尽可能高的精度：解：由于，因此由展开式，同时，对所求公式右端各项也作相应的展开，并乘以相应的系数：由于期望尽可能准确，比较各对应项的系数，可得方程组： ，解之可得： ；注意到局部截断误差是，因此 显然，这就是的显式Adams-Bashforth公式。例：
7、求以下数值公式的系数使公式具有尽可能高的精度：与上例完全一样，比较系数，可得公式： 局部截断误差：这个公式称为Milne公式，稍后我们将用到它。综上所述，从公式的构造过程可见，微分方程初值问题的算法公式基本上源于：Taylor 展开式、数值积分或数值微分，而插值方法一般也是通过数值积分或数值微分完成的。l Taylor 展开式待定系数法直接来自于Taylor 展开式，通过比较系数，形成线性方程组，取得公式与局部截断误差；l 数值积分前面的多步法等，基本上都源于此，例如梯形、Simpson方法等，而Adams方法用的是，当用不同的点生成的不同的插值多项式代换时，便得到不同的公式，包括显式和隐式公
8、式；l 数值微分由 导出Euler公式，而由 可导出后退Euler公式，若取3点数值微分公式可导出更多公式：其中第二个公式就是“中点公式”；当然它们也可以由待定系数法取得：例如第3个公式：用待定系数法求以下隐式公式的系数及局部截断误差：由Taylor 展开式： 比较：为使公式具有尽可能高的精度，比较系数，得方程组：因此，公式是 ，与之相应，有局部截断误差：6.1.4 问题的性态与算法的稳定性1、 问题的性态问题对原始数据的敏感性 原始数据问题的应有的结果原始数据扰动问题的结果问题的条件数 相对误差之比的上确界：由微积分知识：初值问题：固定步长，初值； 计算结果： 因此：由于，当 ；或： 又 得
9、： 因此： 良态 病态例： 方程的解 病态 （图示）例： 方程的解 良态 （图示）例：， 当 病态， 当 良态。（图示）2、 方法的稳定性方法：由初始误差导致的后期误差的可控性。中点法：由数值导数公式 得 可导出中点法 此为2步2阶公式，但稳定性差。例： 真解：取2种不同的表头： （即一步法），下表中列出对不同的步长： 计算的近似值， 按后退法计算获得，按中点法由初值及表头获得，按中点法由初值及表头获得，误差放大则是比值。后退法误差放大5741119091112110798说明：1、 总体误差，由前可知后退法：因此，对于后退法，若，（）可计算得；若，可计算得 显然实际情况良好；而对于中点法，其
10、总体误差 考虑表头都用准确值（注意在浮点数系中运算，仍是有误差的，这可认为是初始误差），若，（）可计算得，而，可计算得，而实际计算并非如此。2、对于同是中点法：由此表可见，两个中点法的不同结果是由不同的表头导致的，实际的不同仅是的不同，而它们之间的误差（或不同）导致的计算结果的误差被放大5000倍甚至1万余倍。说明中点法并不是好的方法，尽管它是一个2阶方法，但实际计算不如后退法这样的1阶方法。定义：步方法，若存在常数其中及是按此方法分别由表头及计算得到，则称此方法是稳定的。此定义因未限制，故实际可要求，因此本定义又“渐近稳定性”或“0稳定性”。实际计算关心对确定步长，一个算法，每步计算误差是否
11、被放大？无法讨论一般方程研究对象：典型方程： 其中：。原因：对维常微分方程组：，为阶矩阵，它的特征值反映了矩阵的性态，当时，方程是良态，若时则是病态（工程中，通常称之为“稳定性”， 时，系统稳定，否则，不稳定）。定义：对于典型方程，及确定的，一个步方法，若由表头及计算得到及，存在常数使则称此方法对是绝对稳定的，全体的集合称为该方法的绝对稳定域。事实上，也可将此定义改写成对于单步法则为： 对典型方程，单步法 总有 例如：法：， 后退法：， 梯形法： ，；由于单步法 因此，当 则方法绝对稳定：法： ，在复平面上 是以 1为中心，1为半径的圆内部；后退法：， 即，在复平面上 是以 1为中心，1为半径
12、的圆的外部。为稍后介绍方便，对一般的步方法，写成即： 例如 法： 后退法： 中点法： 梯形法： 法： ；定义算法的特征多项式：其中 分别称为算法（*）的第一、第二特征多项式。定理：对，若算法的特征多项式的全体零点 都满足，则 使该算法绝对稳定，全体这样的的集合，称为该算法的绝对稳定域。例如：中点法的特征多项式 ，则 的根，由于，可见，中点法总是不稳定的。6.1.5 预估-校正方法原因：显式方法简单；但一般稳定性不好； 隐式方法求解复杂；但一般稳定性好；将两者结合问题：如何组合1、误差估计 两个方法获得同一 的不同近似，以此估计误差（1） 同阶、同步长的两个不同方法 方法a： 方法b：由于步长一般较小，因此可认为 ，（实际上就是估计此的值，因为一旦获得此估计值，便可得到的估计值）将两式相减，得 即 因此 （2） 不同阶、同步长的两个不同方法，设 方法a： 方法b：由于是的高阶小量，所以两者相加（减）时，后者可略去；将以上两式相减，可得 因此： （3） 同阶、不同步长的同一方法，设步长 步长： 步长：仿（1），将两式相减，得 所以 ；2、预估-校正法 （ Predictor-预估, Evaluation-计算, Correct-校正
