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1、考点突破练20利用导数研究函数的零点问题12341.(2020全国,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.123412342.(2023黑龙江哈师大附中三模)已知f(x)=exsin x-x.(2)当x(-,)时,讨论f(x)零点个数.12341234123412343.(2023湖南娄底模拟)已知函数f(x)=ex+kx2-x(其中k0),g(x)=xex-x.(1)证明:函数f(x)在区间0,+)上单调递增;(2)判断方程f(x)=g(x)在R上的实根个数.1234(1)证明 f(x)=ex+2kx-1,设F(x
2、)=ex+2kx-1,则F(x)=ex+2k,因为k0,所以F(x)0,所以F(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)=F(x)F(0)=0,当且仅当x=0时,取得等号,所以函数f(x)在区间0,+)上单调递增.1234当x1时,h(x)0,则h(x)在区间1,+)上单调递增,又因为h(1)=-k0,h(2)=e2-4ke2-2e0,所以h(x)在区间1,+)上有且只有一个零点;(2)解 方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.证明如下:方程f(x)=g(x),即ex+kx2-x=xex-x,即(x-1)ex-kx2=0,令h(x)=(x-1)ex-kx2,则h(x)=x(ex-2k),
3、因为当x1时,h(x)0,得xln(2k),由h(x)0,得1xln(2k),所以h(x)在区间1,ln(2k)上单调递减,在区间(ln(2k),+)上单调递增.又因为h(1)=-k2,m(t)=et-t2,则m(t)=et-2t,令(t)=et-2t,(t)=et-2,因为t2,所以(t)0,所以m(t)=(t)在区间(2,+)上单调递增,所以m(t)m(2)=e2-40,所以m(t)在区间(2,+)上单调递增,所以m(t)m(2)=e2-40,即h(k+1)0,所以h(x)在区间1,+)上有且只有一个零点.综上所述,当k0,+)时,h(x)在区间1,+)上有且只有一个零点.所以方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.12341234123412341234123412341234
