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1、襄阳市47中2011综合题四（面积问题综合）1. （2011青海）已知一元二次方程x24x+3=0的两根是m，n且mn如图，若抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）（1）求抛物线的解析式（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PEx轴与抛物线交与点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标解答：解：（1）x24x+3=0的两个根为 x1=1，x2=3，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），又抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点
2、，抛物线的解析式为 y=x22x+3，答：抛物线的解析式是 y=x22x+3（2）解：作直线BC，由（1）得，y=x22x+3，抛物线y=x22x+3与x轴的另一个交点为C，令x22x+3=0，解得：x1=1，x2=3，C点的坐标为（3，0），由图可知：当3x0时，抛物线的图象在直线BC的上方，答：当3x0时，抛物线的图象在直线BC的上方（3）解：设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，a22a+3），直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，F是线段PE的中点，即F点的坐标是（a，），直线BC过点B（0.3）和C（3，0），设直线BC的解析式是y=kx+b，代入得：，直线
3、BC的解析式为y=x+3，点F在直线BC上，点F的坐标满足直线BC的解析式，即=a+3解得 a1=1，a2=3（此时P点与点C重合，舍去），P点的坐标是（1，0），答：点P的坐标是（1，0）2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由考点：二次
4、函数综合题解答：解：（1）把三点代入抛物线解析式， 即得： ， 所以二次函数式为y=-x2+2x+3； （2）由y=-x2 2x+3=-（x-1）2+4， 则顶点P（1，4）， 知B，C，则直线BC的斜率= ， 则点P斜率为-1的直线设为：y=-x+b， 代入点P（1，4）， 则解得：y=-x+5，则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，-x2+2x+3=-x+5，即x2-3x+2=0，解得x=1或x=2，代入直线则得点（1，4）或（2，3），知点P，所以点Q（2，3）；（3）有题意求得直线BC代入x=1则y=2，M（1，2），由点M，P的坐标可知：点R存在，即过点M平行于x轴的直线
5、，则代入y=2，x2-2x-1=0，解得x=1- （在对称轴的左侧，舍去），x=1 ，即点R（1 ）3.（2011阜新）如图，抛物线y=x2+x与x轴相交于A、B两点，顶点为P（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标解答：解：（1）令y=0，则x2+x=0，解得x1=3，x2=1，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在抛物线的对称轴为直线x=1，令x=1，则y=1=2，
6、P点坐标为（1，2），ABP的面积等于ABE的面积，点E到AB的距离等于2，设E（a，2），把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a=2，解得a=12或1+2，符合条件的点E的坐标为（12，2）或（1+2，2）（3）所有符合条件的点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2）4.（2011包头）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，2）（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形
7、OEDC的面积为S当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？OCHABxy解答：解：（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，y=x2+x2=（x）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C，APCP，AAPPCC，可得，即=，解得m1=，m2=，P（，）或（，）；（3）由B（6，1），C（0，2），得直线BC的解析式为y=x2，D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=42+4=，SBOC=26=6，当6S时，满足条件的点E有两个5. （2011安徽省芜湖市）平面直角坐标系中，ABO
8、C如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）和重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标解答：解：（1）绕点O顺时针旋转90，得到，点A的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0）抛物线过点A、C、A设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a0），可得，解得故此抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）OAB=90，AB=OC=1，AO=3OB=可证C1ODBOAC1OD的周长与BOA的周长比=O
9、C1：OB=1：BOA的周长=4+C1OD的周长=（3）连接AA设AA的函数表达式为y=kx+b，可得解得，AA的函数解析式是y=x+3设M（x，x2+2x+3）SAMA=3x2+2x+3（x+3）=x2+x=（x）2+，x=时AMA的面积最大SAMA=，M（，）6. （2011天水）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60，OAB=90，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止（1）设DEF运动时间为t
10、，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式（2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）依题意得OA=5，当0t1时，s=t2，当1t2时，s=（2t）2=t2+2t，当2t5时，s=；（2）不存在依题意，得C（1，），B（5，），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），将C点坐标代入，得a= ，y=x（x6）=x2+x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y
11、=x，DFOC，设直线DF解析式为y=x+k，将D（4t，0）代入得k=（t4），直线DF：y=x+（t4），设OAG的OA边上高为h，由SOAG=S梯形OABC，得5h=（4+5），解得h=，将y=代入y=x（x6）中，得x=33，F（33，）或（3+3，），分别代入直线DF：y=x+（t4）中，得t=+3或3，但0t5，不存在7.（2011四川达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是
12、否存在一点M，使得sMAP=2sACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（xx1）（xx2），抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，y=a（x1）（x+3），又抛物线与y轴交于点C（0，3），a（01）（0+3）=3，a=3y=（x1）（x+3），即y=x22x+3，用其他解法参照给分；（2）点A（1，0），点C（0，3），OA=1，OC=3，DCAC，OCx轴，QOCCOA，即，OQ=9，又点Q在x轴的负半轴上，Q（9，0），设直线DC的解析式为：y=mx+n，则，解之得：，直线DC的解析式为：，点D是抛物线与直线DC的交点，解
13、之得： （不合题意，应舍去），点D（），用其他解法参照给分；（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，AE=2，抛物线y=x22x+3的顶点为P，对称轴为x=1，P（1，4），PE=4，则PM=|4y|，s四边形AEPC=s四边形OEPC+sAOC，=，=，=5，又s四边形AEPC=sAEP+sACP，sAEP=，+sACP=54=1，sMAP=2sACP，|4y|=2，y1=2，y2=6，故抛物线的对称轴上存在点M使sMAP=2sACP，点M（1，2）或（1，6）8. （2011南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4，0）和B（m，0），与直线y=x+p相交于点A和点C（2m4，m6）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标解答：解：（1）点A（m4，0）和C（2m4，m6）在直线y=x+p上，解得：，A（1，0），B（3，0），C（2，3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x3）（x+1），C（2，3
