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1、专题检测二数列123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20单项选择题21 221.(2023福建漳州三模)已知数列an为递减的等比数列,nN*,且a2a7=32,a3+a6=18,则an的公比为()A123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 222.(2023山东聊城二模)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a10,a8,a9是方程x2+x-2 023=0的两根,则能使Sn0成立的n的最大值为()A.15B.16C.17D.18A解析 a8,a9是方程x2+x-2 023=0的两根,a8a9=-2 023
2、,a8+a9=-1,又a10,d=a9-a8-80,由等差中项知a8+a9=a1+a16=a2+a15=a7+a10=-1,S16=a1+a2+a16=-80,a16=a9+7d5520,即使得Sn0成立的n的最大值为15.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 223.正项等比数列an与正项等差数列bn,若a1a5=b5b7,则a3与b6的关系是()A.a3=b6B.a3b6C.a3b6D.以上都不正确C123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22B123456789 10 11 12 1
3、3 14 15 16 17 18 19 20 21 22C解析 设等比数列的公比为q,根据题意,a1q2=a1q+2a1,因为数列an是正项等比数列,所以a10,q0,故由上式可得q=2,123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 226.已知数列an满足a1+2a2+2n-1an=n2n+1,则下列结论错误的是()A.a1=4B.an的前10项和为150C.(-1)nan的前11项和为-14D.|an-10|的前16项和为168B123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22解析 由a1+2a2
4、+2n-1an=n2n+1得,当n2时,a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n,两式相减,得2n-1an=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n,故an=2n+2(n2),当n=1时,a1=4也符合an=2n+2,故an=2n+2.对于A,a1=4,故A正确;123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22A解析 令x=y=0,由已知可得f(1)=f2(0)-f(0)+2=2.令y=1,由已知可得f(x+1)=f(x)f(1)-f(1)-x+2=2f(x)-x,设an=f(n),nN*,则an+1=2an-n,整理可得an+1-(n+
5、2)=2an-(n+1).123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22B123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22多项选择题9.(2023山东烟台模拟)设首项为1的数列an的前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+n-1(nN*),则下列结论正确的是()A.数列Sn+n为等比数列B.数列an的通项公式为an=2n-1-1C.数列an+1为等比数列D.数列2Sn的前n项和为2n+2-n2-n-4AD1
6、23456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2210.(2023湖北黄石模拟)假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共14只;2个月后,每对老鼠各生12只小老鼠,一共98只以此类推.记每个月新生的老鼠数量为an,每个月老鼠的总数量为bn,数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,可知a1=12,b1=14,a2=84,b2=98,则下列说法正确的是()A.a6=1276B.b6=276C.S6=276
7、-2D.BC123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22ABC123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22解析 对于选项A,由题意知an的前8项为1,2,3,4,5,7,8,9,所以S8=39,故A正确;对于选项B,集合A为正奇数集,集合B中的元素都是偶数,按照从小到大排列,若连续的两个数是奇数,则an+2-an+1=2,若连续的两个数是一个奇数,一个偶数,则an+2-an+1=1,故B正确;对于
8、选项C,令k=2n-1+n,因为22n-1-1比2n小1,所以an的前k项中,来自集合A的有2n-1个,来自集合B的有n个,所以Sk=1+3+(22n-1-1)+2+22+23+2n123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22对于选项D,an的前26项包括来自集合A的1,3,5,41,共21个,来自集合B的2,4,8,16,32,共5个,因为a27=43,12a27=516,S2612a27,不符合条件,故D错误.故选ABC.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2212.网络流行语“内卷
9、”,是指一类文化模式达到某种最终形态后,既没办法稳定下来,也没办法转变为新的形态,只能不断地在内部变得更加复杂的现象,数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文,原意是“旋卷”或“缠卷”,如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷型的图案,它的画法是:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第三个正方形MNPQ,按此方法继续下去,就可以得到如图所示的图形.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形的边长依次为a2,a3,an,;如图阴影部分,设直角三角形AEH的面积
10、为b1,后续各直角三角形面积依次为b2,b3,bn,.下列说法正确的是()123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22填空题13.(2023全国甲,文13)记Sn为等比数列an的前n项和.若8S6=7S3,则an的公比为_.解析 已知an为等比数列,设首项为
11、a1,公比为q,若q=1,则Sn=na1.有8S6=48a1,7S3=21a1.a10,q1.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2214.(2023广东广州二模)在数列an中,a1=2,am+n=am+an,若akak+1=440,则正整数k=_.10解析 由a1=2,am+n=am+an,令m=1,则an+1-an=a1=2,所以数列an是以2为首项,2为公差的等差数列,即an=2+(n-1)2=2n,所以akak+1=2k2(k+1)=440,即k(k+1)=110,又k为正整数,所以k=10或k=-11(舍去).123456789
12、 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2215.我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即“杨辉三角”,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前56项和为_.4 084123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15
13、16 17 18 19 20 21 22解答题17.(10分)(2022全国甲,理17)设Sn为数列an的前n项和.已知(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2218.(12分)(2023湖南雅礼中学校考)已知数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意nN*,满足关系Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14
14、 15 16 17 18 19 20 21 22(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=Sncos n,求数列bn的前2n-1项和T2n-1.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22(2)因为an=2n-1,所以Sn=n2,故bn=n2cos n=(-1)nn2,所以T2n-1=-12+22-32+42-+(-1)2n-1(2n-1)2=(22-12)+(42-32)+(2n)2-(2n-1)2-(2n)2=1+2+3+4+(2n-1)+2n
15、-4n2=n(2n+1)-4n2=-2n2+n.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2220.(12分)(2023广东东莞高三期末)已知数列an的前n项和为Sn,且对于任意的nN*都有3Sn=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列an的前n项中的最大值为Mn,最小值为mn,令 ,求数列bn的前20项和T20.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22解(1)对于任意的nN*都有3Sn=2an+1,当n2时,3Sn-1=2an-1+1,两式相减,得3(Sn-Sn-1)=(2
16、an+1)-(2an-1+1),即3an=2an-2an-1(n2),整理得an=-2an-1(n2),当n=1时,3S1=2a1+1,故a1=1,所以数列an是首项为1,公比为-2的等比数列,所以an=(-2)n-1.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2221.(12分)(2021浙江,20)已知数列an的前n项和为Sn,且4Sn+1=3Sn-9(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足3bn+(n-4)an=0(nN*),记bn的前n项和为Tn,若Tnbn对任意nN*恒成立,求实数的取值范围.123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22123456789 10 11 12
