《圆锥曲线中焦三角面积公式的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线中焦三角面积公式的应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称 之为焦三角。焦三角的面积只与b和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。假设这个视角为 n0，耳、F2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b2tan ，在双曲线里焦三角的1 2 20x2 y 2面积S=b2cot 。下面我们给出证明：若P是椭圆一 +厂=1 （ab0）上一点，耳、F2是2a 2 b21 21两个焦点，设IPF戶rPF2l=r2，三角形PF1F2的面积为S,则S-rr sm0（1）1 1 2 2 1 2 2 1 2在三角形pf1f2中，由余弦定理（2c） 2= r2 +
2、 r2 一 2rr cos0 = （r + r ）2 2rr cos0 , - （2）rr= 20代入（1）中1 2 cos 01 2 1 2 1 2 1 2又 r+r =2a,（3）代入（2）得：4c2=4a2 2r r cos01 2 1 20可得S=b2tan-，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b2cot-。在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下 面举例予以说明。例1 （2004年高考福州）已知P是椭圆 + y2 = 1的一点，F、f2是椭圆的两个焦点,且/片卩卩2=600,则4PF1F2的面积是由椭圆的焦三角面积公式，这里0 =600，0=3
3、0。得厶PFF-的面积是2 1 2例2双曲线石 = 1的两个焦点分别是耳、耳，点P在双曲线上，且直线PF PF2倾斜9 16 1 2 1 2兀角之差为y，则 PF1F2的面积为（）A. 16、3B. 32C. 32 D. 42兀c 兀解：由三角形外角性质可得z FPf2=，即0 =，再由双曲线的焦三角面积公式，S=12330兀穴、b2cot =16cot =16：3,故选 Ao26x2 y 2例3在椭圆羔+石;=1上求一点P,使它与两焦点耳、F2的连线互相垂直。452012兀兀1,解：由椭圆的焦三角面积公式，其中0 =， S=b2cot =20= 2c |y0|. |y=4. 其中c=5,y0
4、是点P的纵坐标，将|y0l=4代入椭圆方程得|x=3，故P点的坐标为3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）。x2y 2例4. （2004年高考湖南）耳、F2是椭圆C： 石+ 一二1的两个焦点，在C上满足PF丄1 2 8 4 1pf2的点的个数是.解:同上题可得|y0l=2二b.故满足条件PF1PF2的点的个数为2。x2 y 2 例5. （2000年天津、江西高考）耳、F2是椭圆+三-二1的两个焦点，点P为其上的动1 2 9 4点。当zf1pf2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.3J5解：先求出当ZF1PF2为直角时点P的横坐标，与例3解法可得|x0l二，故点P的横坐一353 韻
5、标的取值范围是-5x一5 -x2例6.设F、F2是双曲线-y2二1的两个焦点，点P在双曲线上，当 PF1F2的面积为1时，PF PF的值是（）12A. 0D. 21C. 200兀厂厂厂厂解：由公式 S= b2cot 2 =1 得 cot=1，A 0 =，：PF丄 PF?，.： PF/ pF =0，故选 A。以上例子如果用其他方法解题，将要繁杂得多。圆锥曲线切线公式一 一若P（x,y0）为非退化的圆锥曲线r : ax2 +bxy+cy2 +dx+ey+f=0上一点,x y + y xx+ x y + y贝卩其切线 L 为 axx+b(-0)+cyy+d() + e(- )+f=0证明：设切线L的
6、斜率为m，则L的方程式为yy0 =m（xX。）ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 y=m(xXo)+y。(、恰一组解(x0，y0)y - y = m(x - x )0 000ax2 +bxm(xx0)+y0+c血(Xx0)+y02 +dx+em(xx0)+y0+f=0 有二重根 x0nax2 bmx2 bmx0xby0xcm2 (x2 2x0xx0 2 )2m(xx0)y0y0 2 dxemxemx0)+eyo+f=0 有二重根 xon(abmcm2 )x2 (bmx by 2cm2 x 2cmy dem)x(cm 2 x 2 2cmx y 0 0 0 0
7、0 0 0cy。2)emxo +ey。+f) = 0 有二重根 xo一 bmx + by 一 2cm 2 x + 2cmy + d + em =2x =x +x =000000a + bm + cm 2n 2ax +2bmx +2cm2x =bmx by +2cm2x 2cmy dem0 0 0 0 0 0 0n (bx 2cy e)m= 2ax by d0 0 0 02ax + by + d n m=00bx + 2cy + e002ax + by + dn切线L的方程式为yy = 00(xx )0 bx + 2cy + e 000n(bx02cy0e)(yy0)=(2ax0by0d)(xx
8、0) n(2ax0by0d)(xx0)(bx02cy0e)(yy0)=0n 2axxbyxdx 2ax2 bxy dxbxy2cyyey bx y 2cy 2 ey= 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1nax x+ by x+dxax 2 bx y dx + bx y+cy y+ eycy 2 ey =00 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0y x + x yx - xy - ynaxox+b(7i)+cyy+d(厂)+e(2)ax02 bx0y0 cy02 =0y x + x yx + xy + yn ax x+b(00 ) + c
9、y y+d( 0 ) + e(0) ax 2 bx y cy 2 dx ey0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0=0y x + x yx + xy + yn ax x+b(00 )+cy y+d(0 ) + e(0) (ax 2 +bx y +cy 2 +dx +ey )0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 =0y x + x yx + xy + yn axx+b(7_)+cyy+d(厂)+e( 4)+f=0圆锥曲线的相似性文1从抛物线的离心率、标准方程及特例作出猜想，任意两抛物线是相似图形，并给 出一般证明。笔者通过对圆锥曲线的研究，发现离心率相同的圆锥曲线都相似，两相似圆锥 曲
10、线的相似中心和相似比也可确定。下面先给出图形相似的涵义：若 C1 、C2 两图形的点之间存在一一对应关系，且图形 C1 上任两点的距离与图形 C2上两对应点的距离之比，对于两图形所有的点都有同一值，我们便称这两个图形为相似图形，或者说图形c1相似于图形C2,所说的比叫做图形C对图形c2的相似比。特别地，若给定一点S和一数k工0,过点S引直线交C、C2于M、M2两点,=k，那么C与C2相似，相似比为k，而称点S 为其相似中心。（图 ）对于圆锥曲线相似性，有以下一些结论：1、离心率相等的圆锥曲线都相似。我们用圆锥曲线统一的极坐标方程给出证明C、C2的离心率均为e，则只须证明曲线p =印与11 -
11、e cos 0ep2p2 = cOSe 相似。图 2 ）设圆锥曲线证明 过极点O引任一直线0 =00交曲线q、C2于M、m2两图2点，则OM pep1- =4 =1OM p 1 一 e cos 02 2 0epp2=1为常数。- ecos0p02可见，离心率相等的圆锥曲线相似，且以其（重合的）焦点为相似中心，相似比为旦（P、p2p 为焦参数）。2若把圆看成离心率 e=0 的圆锥曲线，则有如下推论：推论 1 所有的圆都相似。结论的正确性显而易见，使圆心重合即为相似中心，其相似比为半径之比由于抛物线的离心率e=l,所以又有推论 2 所有的抛物线都相似。c由离心率的定义e =及a2 = b2 + c
12、2 （椭圆）、c2 = a2 + b2 （双曲线）不难得到,accacbabac若e= e ,则=T,从而= 二；反之，若一1=或，则e e且12aaacbabac12122222222acb2a2b2c1 =:1 =,即有e=e o1 4 1( * )acb122a2b2c222222为此,对于椭圆或双曲线,我们又有推论 3 若椭圆（双曲线）的长轴（实轴）与短轴（虚轴）的长度或焦距成比例,那 么这些椭圆（双曲线）相似。我们知道,椭圆的离心率确定了椭圆的“圆”与“扁”的程度,而双曲线的离心率则 反映了双曲线形状的扁狭与开阔程度,所以根据上面的结论可知,离心率相等的椭圆一样 “圆”,离心率相等的
13、双曲线一样“开阔”。那么,对于离心率相等的圆锥曲线,它们的相似 中心是否唯一呢？我们有下面的结论：2、两圆锥曲线若相似（离心率相等）,那么它们相应的焦点、中心、顶点都可作为相 似中心。我们以有心二次曲线（椭圆、双曲线）为例给出证明。（1）圆锥曲线的焦点可作相似中心,这在上面结论1 中已证,在此不再赘述。2）圆锥曲线的中心可作相似中心。使离心率相等的两椭圆（双曲线）的中心重合,相应轴所在直线也重合（图3）,记其x2y 2方程为一 =1 (i =1, 2)a 2 a 2 c 2ii ic由于 e 二 c = ea aii方程可化为x2+a2iy2(1 e 2)a 2i图3iff过中心O引直线l交曲线于P, P及P, P ,1 1 2 2x 二 tcosa设1的方程为I y二t sin a把代入中得cos2 asin2 at 2 +t 2 = 1a 2 i (1 - e2)a 2 1 iia2t2 二i(i = 1,2)isin 2 acos2 a +1- e2OPOP2PP1 1PP 2 2I 2Ia
