《第六讲 线性变换部分.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六讲 线性变换部分.doc（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六讲 线性变换线性变换空间分解问题1.设是数域上的二次多项式，在内有互异根，设是上的线性空间的一个线性变换，证明： 1）为的特征值，2）表示属于的特征子空间，则证明：由已知由于所以存在，使得，但所以为的特征值，是的属于的特征向量. 同理为的特征值.2）由于互异，所以，即存在多项式使得，所以对任意，令则所以所以故，又设，由于，所以，所以，所以所以.2.设是上的线性空间的一个线性变换，证明： 证明：，显然任意，所以，所以，故，所以任意，由于，所以存在，使得，由所以，又所以，所以，故所以.方法二：令，任意，则反之任意，存在，使得，所以，所以由于所以，由于，所以存在多项式使得，所以对任意，令则所以所
2、以，所以任意，所以，所以，故，所以.3.，设是上的线性空间的一个线性变换，是的核，是的核，是的核，证明：证明：由于，所以存在多项式使得，所以对任意，则.由于令则所以， 所以，所以任意，所以，所以，故，所以3. 是有理数域上的线性空间，设是的一个非零线性变换，且满足，证明：1）；2）必存在的一个3维子空间.证明：1）由于，所以令， 令，任意，所以反之任意，存在，使得，所以，所以由于，所以存在多项式使得，所以对任意，令则所以， 所以，所以任意，所以，所以，故，所以2)由于是的一个非零线性变换，所以存在所以.对任意二次多项式，设，则由于是有理数域上的不可约多项式，所以或，由于则存在多项式使得，所以，
3、所以线性无关，设，则是的3维子空间，且所以即，故.所以是的一个3维子空间.若是有限维空间还可以进行如下证明：由知的最小多项式必为的因式，又所以的最小多项式必为含因子，又是有理数域上的不可约多项式，所以必有为在有理数域上的初等因子，所以在某组基下对应的矩阵为有理标准形，其中必至少有一块由确定，不妨设为，所以，如果关于的矩阵为，则取 ，则是的一个3维的子空间.4. 设是上的线性空间的一个线性变换，,证明： 证明：对任意的，因为，所以，所以，所以对，则.由于，所以存在多项式使得，所以，所以.综上5.证明：是为线性空间，是的线性变换，证明：的充分必要条件为或的充分必要条件为证明：如果，则对任意的，都有
4、,所以对，存在使得，设由于，所以存在则所以， 显然所以如果，取为的基， 将扩充为的基，设，则所以，由于线性无关，所以所以是的基. ，又，所以是的基，线性无关设则，所以，所以故线性无关.设，则由于线性无关，故所以，即.6. 设是上维线性空间的一个线性变换，是的子空间，证明：是可逆变换的充分必要条件是证明：设与分别为的基，则由知是的基，是维的线性空间.如果是可逆的线性变换，则仍是的基，所以如果，由于所以，又是维的线性空间所以线性无关，所以是的基，所以将的基化为基，所以可逆.特征值、特征向量、特征多项式1）有特征值，则矩阵多项式有特征值2）的特征多项式为，则3）哈密尔顿-凯莱定理：的特征多项式为，则
5、4)最小多项式是以为根的次数最低的首项系数为1的多项式性质：最小多项式整除任何以为根的多项式5）的属于不同特征值的特征向量线性无关 1. 是阶复方阵，的特征多项式与最小多项式有完全相同的根（重数可能不同）证明：由哈密尔顿-凯莱定理：的特征多项式为，则，所以所以最小多项式的根都是特征多项式的根。如果是特征多项式的根，则存在非零向量，使得，所以而，所以，又，所以，所以特征多项式的根都是最小多项式的根。故的特征多项式与最小多项式有完全相同的根。2. 是数域上的阶方阵，是的特征多项式，证明：如果互素，可逆.证明：，所以所以存在多项式使得，所以，由于,所以，所以可逆是的多项式。3.若为的复系数多项式，复
6、方阵的特征值都不是的根，求证：可逆，且其逆是的多项式证明：设是的特征多项式，由于的特征值都不是的根，所以（同上）4. 是数域上的阶方阵，可逆，则可以表示成的多项式证明：可逆，则的特征值都不为0，所以的特征多项式的常数项非零，令，又,所以5. 是数域上的阶方阵，为首项系数为1的不可约多项式，且证明：1）关于矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间；2）若则3）的维数等于的次数证明：1）是的非空子集，且对任意,所以关于矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间。2）设是的最小多项式，则首项系数为1，且对任意满足的都有，所以，又为首项系数为1的不可约多项式，所以，即就是的最小多项式，所以若则3）设，由于就是的最小
7、多项式，所以对应任何次数小于的多项式都有，所以如果不全为零，必有，所以线性无关，又，对任意所以有，所以可由线性表示，所以是的基，所以的维数等于的次数.5.,求解：的特征多项式为，设则由有由解得，所以6.是阶复方阵，的特征值全为零，证明：7. 的特征多项式为，分别求的特征多项式解：方法一，令则所以的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为方法二 有相同的特征多项式，则有相同的特征多项式，由于的特征多项式为，取，的特征多项式为,它的特征多项式为对角化问题1. 是阶方阵, 可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量2. 是阶方阵, 可对角化当且仅当的最小多项式可以分解成互不相
8、同的一次因式之积1. 是阶复方阵，是的特征多项式，证明：与对角阵相似当且仅当证明：设则其中是互不相同的一次因式，且不再整除则如果与对角阵相似，则的最小多项式可以分解为互不相同的一次因式之积，且最小多项式与特征多项式有完全相同的根，所以就是最小多项式，所以.反之如果，设为的最小多项式，则，所以可以分解为互不相同的一次因式之积，所以与对角阵相似.2. 是阶方阵，是否与一个对角形矩阵相似，如是，写出该对角形矩阵.解：由于，则,所以的最小多项式是的因式，所以的最小多项式可以分解为互不相同的一次因式之积，与对角阵相似.由于最小多项式与特征多项式有完全相同的根，所以相似于，对角线上的个数为.3. 是阶是实
9、对称方阵，证明存在正交矩阵，使得4.是阶复方阵，如果存在正整数，使得,则与对角阵相似.解：由于，则,所以的最小多项式是多项式的因式，由于，所以，所以无重根，所以无重根，即有的最小多项式可以分解为互不相同的一次因式之积，与对角阵相似.5.是阶方阵，,求证：1）；2）3）时，求的解证明：由于，则,所以的最小多项式是的因式，所以的最小多项式可以分解为互不相同的一次因式之积，与对角阵相似.设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，所以，即有，又，所以，即，由于，所以，所以只能是0或.（或者由于最小多项式与特征多项式有完全相同的根，所以只能是0或）所以相似于，对角线上的个数为.即有存在可逆矩阵，使得.1）
10、由于,所以2）由于，所以所以相似于，显然3），知的列向量是的解，又，所以的列向量组的极大无关组是的基础解系.6. 是阶方阵，时，称为幂等矩阵，证明：两个幂等矩阵相似当且仅当它们等价.证明：两个阶方阵等价当且仅当它们有相同的秩.由上题知，幂等矩阵都相似于形如的矩阵，所以两个幂等矩阵相似当且仅当它们有相同的相似标准形，当且仅当它们的秩相同，当且仅当它们等价.7. 是阶方阵，如果，则可对角化证明：如果或，结论显然如果，则的非零解是的属于特征值0的特征向量，所以有个线性无关的属于特征值0的特征向量.同理的非零解是的属于特征值1的特征向量，所以有个线性无关的属于特征值1的特征向量，由于，所以有个线性无关
11、的特征向量，所以可对角化. 8.是复数域上维线性空间的一个线性变换，证明：存在的一组基，使得在该基下的矩阵为对角形.证明：证明：由于，则,所以的最小多项式是的因式，由于，所以，所以无重根，所以无重根，即有的最小多项式可以分解为互不相同的一次因式之积，与对角阵相似.9. 是阶方阵，证明：如果存在，使，则对任意正整数，证明：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则，即有，由于，所以，所以只能是0.（或者由于最小多项式与特征多项式有完全相同的根，所以只能是0）所以对任意正整数，的特征值都是0.所以.10. 是阶方阵，证明：对任意正整数，则.证明：假设有非零的特征值，设是的互不相同的非零特征值，且重
12、数非别是，由，所以有，由于所以，所以没有非零的特征值，所以的特征值都是零.所以的Jordan标准形所以由于，所以，即所以.11.是实矩阵，若，求证：证明：，所以的最小多项式为的因式，又与有相同的非零特征值，且，所以可逆，所以0不是的特征值，因此的特征值为，又是实对称矩阵，所以可对角化，即存在正交矩阵,使得.12.设均为非零向量，令求：1）;2) 的特征值与特征向量；3）是否可对角化解：由于均为非零向量，所以 一）如果，则的最小多项式为，所以不可对角化此时的特征值都为0，的非零解即为的特征向量，设，由于， ，所以，又，不妨设，的基础解系为，的特征向量为二）如果，则的最小多项式为，最小多项式为互不
13、相同的一次因式之积,所以可对角化.此时,的特征值都为(为重特征根)，对应的特征值，的非零解即为对应的特征值的特征向量，与上面相同可得，对应的的特征值的特征向量为的特征值都为，由于 所以对应的的特征值的特征向量为.13.设是所以元素都是1的阶方阵， 1）求的特征值与特征向量；2）设为复数域上多项式，证明可对角化(,利用上题方法即可)14.正交相似，求实数及正交矩阵,使得.解：正交相似，所以是对称矩阵，所以又相似，所以，所以15.设为正数，求对角矩阵，使得与相似16.设是复数域上维线性空间上的一些非零线性变换构成的非空集合，已知中没有线性变换的公共的非平凡不变子空间，又线性变换满足对中任意的变换都
14、成立，证明：必存在复数，使.证明：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则，设，则对中的任意向量，由，有，所以，所以对中任意的变换，是的不变子空间，又中没有非平凡的公共不变子空间，所以或，显然，所以，所以.17.已知是3个3阶矩阵，且证明：1）的特征值只有1和0；2）的属于特征值1的特征向量是（）的属于特征值0的特征向量；3）若分别是属于的特征值1的特征向量，则线性无关证明：1）设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则，即有，所以由于，所以，所以只能是0或1.（或者由于最小多项式与特征多项式有完全相同的根，所以只能是0或1）2）设是的属于特征值1的特征向量，则，时，所以的属于特征值1的特征向量是的属于特征值0的特征向量.3）分别是属于的特征值1的特征向量设，则，由于的属于特征值1的特征向量是的属于特征值0的特征向量，即又，所以同理，所以线性无关.18. 是阶方阵，证明：存在正整数，使得，并存在阶方阵,使得证明：设的Jordan标准形其中是矩阵，所以存在可逆矩阵，使得,，所以，又所以取，则所以如果可逆，取即可，如果不可逆，则有特征值零，所以的Jordan标准形中有一些Jordan块对应特征值0，而对应的特征值非零，所以它们都是可逆矩阵. ，所以取,即有19. 、都是阶方阵，证明：如果，则存在多项式，使得证明：，所以如果，取为零多项式即可，如果，
