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1、等差数列、等比数列的性质运用 高考复习本文由jakingzou贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 难点 12 等差数列、等比数列的性质运用 等差数列、 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申.应用 等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点 考查这部分内容. 难点磁场 ()等差数列an的前 n 项的和为 30， 2m 项的和为 100， 前 求它的前 3m 项的和 为. 案例探究 例 1已
2、知函数 f(x)= 1 x ?4 2 (x2). (1)求 f(x)的反函数 f-1(x); (2)设 a1=1, 1 a n +1 =f-1(an)(nN*),求 an; 25 (3)设 Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 nN*,有 bn m 成 立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力， 属级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单 调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问
3、考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2) 问以数列 1 an 2 为桥梁求 an,不易突破. 1 a n +1 = 技巧与方法：(2)问由式子 1 an 2 +4得 1 a n +1 2 1 an 2 =4,构造等差数列 1 an 2 ,从而求得 an,即 “借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想. 解：(1)设 y= 1 x ?4 2 ,x0) (2) 1 a n +1 = 4+ 1 an 2 , 1 a n +1 2 1 an 2 = 4， 1 an 2 是公差为 4 的等差数列， 1 an 2 a1=1, = 1 a1 2 +4(n1)=4n3
4、,an0,an= 1 4n ? 3 . (3)bn=Sn+1Sn=an+12= 设 g(n)= 1 ,由 bn 25 , 4n + 1 25 4n + 1 25 25 * ,g(n)= 在 nN 上是减函数， 4n + 1 4n + 1 25 g(n)的最大值是 g(1)=5,m5,存在最小正整数 m=6,使对任意 nN*有 bn m 成立. 例 2设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍，且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍，问数列lgan的前多少项和最 大？(lg2=0.3,lg3=0.4) 命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质
5、与对数运算法则，等差数列与等比数列之 间的联系以及运算、分析能力.属级题目. 知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前 n 项和公式合理转化条件，求出 an;进而利 用对数的运算性质明确数列lgan为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解. 错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易 出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方. 技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列 中前 n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大； 另外，等差数列 Sn 是 n 的二次函数，也可由函数解析式求最值. 解法一
6、：设公比为 q,项数为 2m,mN*,依题意有 a1 ? ( q 2 m ? 1) a1 q ? ( q 2 m ? 1) = ? q ?1 q2 ?1 ? ? 3 2 3 ?( a1 q ) ? ( a1 q ) = 9( a1 q + a1 q ) 4q 1 ? ?q +1 = 1 ?q = 化简得 ? 解得? 3 . ?a q 2 = 9(1 + q ), ?a1 = 108 ? ? 1 设数列lgan前 n 项和为 Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1) =nlga1+ 1 n(n1)lgq=n(2lg2+lg3) 1 n(n1)lg3 2
7、 2 =( lg 3 )n2+(2lg2+ 7 lg3)n 2 2 可见，当 7 2 lg 2 + lg 3 2 n= 时，Sn 最大. lg 3 7 2 lg 2 + lg 3 4 0.3 + 7 0.4 2 = =5,故lgan的前 而 lg 3 2 0 .4 a1 = 108 解法二：接前， ? 1 ,于是 ? ?q = 3 ? 5 项和最大. lgan=lg108( 1 )n1=lg108+(n1)lg 1 , 3 3 数列lgan是以 lg108 为首项，以 lg 1 为公差的等差数列，令 lgan0,得 2lg2(n4)lg3 3 0,n 2 lg 2 + 4 lg 3 = 2 0
8、.3 + 4 0.4 =5.5. lg 3 0 .4 由于 nN*,可见数列lgan的前 5 项和最大. 锦囊妙计 1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的 既快捷又方便的工具，应有意识去应用. 2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并 树立“目标意识”“需要什么，就求什么” ， ，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题 的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 歼灭难点训练 一、选择题 1.()等比数列an的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn
9、,若 A. 2 3 B. ? 2 3 S10 31 ，则 lim Sn 等于( = n S 5 32 ) C.2 D.2 二、填空题 2.()已知 a,b,a+b 成等差数列，a,b,ab 成等比数列，且 0logm(ab)0,S130. (1)求公差 d 的取值范围； (2)指出 S1、S2、S12 中哪一个值最大，并说明理由. 6.()已知数列an为等差数列，公差 d0,由an中的部分项组成的数列 a b ,a b ,a b ,为等比数列，其中 b1=1,b2=5,b3=17. 1 2 n (1)求数列bn的通项公式； (2)记 Tn=C 1 b1+C 2 b2+C 3 b3+C n bn
10、,求 lim n n n n Tn n n 4 + b n . 7.()设an为等差数列， n为等比数列， 1=b1=1,a2+a4=b3,b2 4=a3,分别求出an b a b 及bn的前 n 项和 S10 及 T10. 8.()an为等差数列，公差 d0,an0,(nN*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*) (1)求证：当 k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,xn,求证：数列 参考答案 难点磁场 解法一：将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ n(n ? 1) d,得： 2 m(m ? 1) ? d = 30 ?m
11、a + ? 1 2 ? ?2ma + 2m(2m ? 1) d = 100 1 ? 2 ? 解得d = 1 1 1 为等差数列. , ,L , x1 + 1 x 2 + 1 xn + 1 40 10 20 3m(3m ? 1) , a1 = + 2 , S 3m = 3ma1 + d = 210 2 m m 2 m 2 m(3m ? 1) d=70,S3m=210. 2 2 2 解法二：由 S3m = 3ma1 + 3m(3m ? 1) d = 3ma1 + (3m ? 1)d 知，要求 S3m 只需求 ma1+ (3m ? 1)d ,将 得 ma1+ 解法三：由等差数列an的前 n 项和公式
12、知，Sn 是关于 n 的二次函数，即 Sn=An2+Bn(A、 B 是常数）.将 Sm=30,S2m=100 代入，得 20 ? ?A = m2 ? Am 2 + Bm = 30 ? ? ? ? 2 ? A(2m) + B ? 2m = 100 ? B = 10 ? ? m ? ,S3m=A(3m)2+B3m=210 解法四：S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+ +am)+m2md=S2m+Sm+2m2d. 由解法一知 d= 40 ,代入得 S3m=210. 2 m 解法五：根据等差数列性质知：Sm,S2mSm,S3mS2
13、m 也成等差数列，从而有：2(S2m Sm)=Sm+(S3mS2m) S3m=3(S2mSm)=210 解法六：Sn=na1+ n(n ? 1) d, 2 =a1+ n(n ? 1) d 2 S 点(n, n )是直线 n S n n y= ( x ? 1)d +a1 上的一串点，由三点(m, 2 Sm m ),(2m, S 2m 2m ),(3m, S 3m 3m )共线，易 得 S3m=3(S2mSm)=210. 解法七：令 m=1 得 S1=30，S2=100，得 a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70 a3=70+(7030)=110 S3=a1+a2+a3=210 答案：210 歼灭难点训练 一、1.解析：利用等比数列和的性
