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1、学习-好资料名师点拨学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理1四边都相等的四边形是菱形.定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【重点难点解析】1.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形.2菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半.A. 重点、难点提示1.理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生 的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解
2、和体会说理的基本方法；3. 了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4. 体会特殊与一般的关系.B. 考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一.一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的一切性质.除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质： 菱形的四条边都相等； 两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起） 每一条对角线都平分一组内角.（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴.（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：
3、（学会利用轴对称的方法研究菱形） 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形.【难题巧解点拨】例 1 :如图 4-24，在 ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB，交 AD更多精品文档于G,交AB于E, EF丄BC于F.求证：四边形 AEFG是菱形.A图 4-24思路分析AEFG由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 是平行四边形，再证一组邻边相等.证明：/ BAC=90 , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB , AE=EF，/ CEA= / CEF .（这是
4、略证，并不是完整的证明过程）/ AD 丄 BC, EF 丄 BC, - EF / AD ,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）/ CEF= / AGE ,（两直线平行，内错角相等）/ CEA= / AGE , AE=AG , EF / AG，且 EF=AG ,四边形AEFG是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又 AE=EF ,平行四边形 AEFG是菱形.例2:已知菱形的周长为 20cm, 条对角线长为 5cm，求菱形各个角的度数.已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC、/ ABC、 / BCD、/ DAB 的度
5、数.思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25 .解：在菱形ABCD中，/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm AB=BC=CD=DA=5cm又 T AC=5cm， AB=BC=AC , CD=DA=AC , ABC和厶DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）/ ADC= / ABC=60。，/ BCD= / DAB=120例3:如图4-26，在平行四边形 ABCD中，/ BAE= / FAE ,/ FBA= / FBE.求证：四 边形ABEF是菱形.图426证法一： AF / BE,/ FAE= / AEB（
6、两直线平行，内错角相等）又/ BAE= / FAE,/ BAE= / AEB , AB=BE .（等角对等边）同理，AB=AF , BE=EF, AB=BE=EF=AF ,四边形ABEF是菱形.（四条边都相等的四边形是菱形） 证法二： AF / BE,/ FAE= / AEB ,又/ BAE= / FAE,/ BAE= / AEB , AB=BE .又/ FBA= / FBE , AO=OE , AE丄FB ,（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF ,四边形ABEF是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4:菱形的两邻角之比为 1 : 2，边长为2,
7、则菱形的面积为 思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：图 4-27解法一：如图4-27,/ B：Z A=1 : 2,四边形ABCD是菱形， AD / BC,/ A+ / B=180 ,/ B=60 ，/ A=120 ,过A作AE丄BC于E,/ BAE=30 ,1.BE AB =1，（直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）2.AE 二.AB2 BE2 二,22 -12 = ,3，（勾股定理）.S菱形abcd二BC AE =2.,3 .（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28,图 4-28/ B ：/ A=1 : 2,四边形ABCD是菱形， AD / BC,
8、/ A+ / B=180 ,/ B=60 ，/ A=120 ,连结AC、BD交于点O,1 ABD B = 30 , AC 丄 BD .2（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）1 在 Rt ABO 中，AO AB =1 ,2.BOAB2 -AO2 二.22 -12 二、3, AC=2 , BD =2 . 3 ,S菱形ABCD=AC BD = 1 2 2 3 =2.3 .2 2答：菱形的面积为2 3 .【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形 ABCD中, E、F分别是BC CD上的点，且/ B=Z EAF=60 , / BAE=18，求/ CEF的度数.AD图4U3点悟：由/ B
9、=60知，连接 AC得等边 ABC与 ACD从而 ABEA ADF,有AE=AF 则厶AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求/CEF解：连接AC./ 四边形ABCD为菱形，/ B=Z D= 60 , AB=BC=CD=DA ABC与 CDA为等边三角形. AB=AC ,Z B=Z ACD=/ BAC=60 ,/ EAF=60,/ BAE=Z CAF AE=AF.又/ EAF=60 , EAF为等边三角形./ AEF=60,/ AEC玄 B+Z BAE=Z AEF+Z CEF 60 +18 =60 +Z CEF,Z CEF=18.例2 已知如图 4-14，在 ABC中，Z BA
10、C=90 , AD丄BC于D, CE平分Z ACB交 AD 于G,交AB于E, EF BC于F,求证：四边形 AEFG为菱形.图 4-14点悟：可先证四边形 AEFG为平行四边形，再证邻边相等 （或对角线垂直）. 证明：T Z BAC=90 , EF丄 BC, CE平分Z BCA AE=FE, Z AECZ FEC/ EF 丄 BC, ADL BC, EF / ADZ FEC=Z AGE Z AECZ AGEAE=AG ,四边形AEFG为平行四边形.又 AE=AG. 四边形AEFG为菱形.点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证.例3 已知如图4-15 , E为菱形ABCD边BC上一点，且A
11、B=AE AE交BD于0,且/ DAE=2 / BAE 求证：EB=0AAD证明：/ 四边形ABCD为菱形，/ ABC=2/ ABD AD / BC,/ DAE玄 AEB/ AB=AE,/ ABC/ AEB/ DAE=2/ ABD/ DAE=2/ BAE/ ABD玄 BAE- 0A=0B./ BOE/ ABD/ BAE/ B0E=2/ BAE/ BEA=Z B0E- 0B=BE , A0=BE.说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路.例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5: 4,求菱形的各内角的度数.点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC BD（如图4-16）
12、.图 4-16解： 四边形ABCD是菱形， AC 丄 BD, / 1 + / 2=90，又T/ 1：/ 2=4： 5,/ 仁40,/ 2=50 ,/ DCB/ DAB=/ 2=100,故 / CBA玄 CDA=/ 1=80.【同步达纲练习一】相Al强化练习 *一一、选择题1 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为120150(A)45 ，135 (B)60(C)90 ，90 (D)302若菱形的一条对角线长是另一条对角线的 为()2倍，且此菱形的面积为S,则它的边长(A) .S (B)1-1 ”(c). 3S21 (D), 5S2二、填空题3.已知：菱形 ABCD中, E、F
13、是 BC CD上的点，且 AE=EF=AF=A,则/ B=.4 已知：菱形的两条对角线长分别为a、b,则此菱形周长为 ,面积为5菱形具有而矩形不具有的性质是 .6已知一个菱形的面积为 8.3平方厘米，且两条对角线的比为1:3，则菱形的边长为.三、解答题7.已知：0为 牯门对角线BD的中点，MN过O且垂直BD,分别交CD AB于M N.求 证：四边形 DNBK是菱形.&如图4-17 ,已知菱形BD=12cm求菱形的高.图 4-17【同步达纲练习二】1. 在菱形 ABCD 中，若/ ADC=120 ，贝U BD : AC 等于()A.3:2B. 33C. 1： 2D.3:12. 已知菱形的周长为4
14、0cm ,两对角线的长度之比为 3： 4,则两对角线的长分别为()A . 6cm, 8cmB. 3cm, 4cmC. 12cm, 16cmD. 24cm , 32cm3菱形的对角线具有()A .互相平分且不垂直B .互相平分且相等C.互相平分且垂直D 互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4已知菱形的面积等于160cm2，高等于8cm，则菱形的周长等于6和8，那么它的边长是.40cm，两邻角的比是1： 2，则较短的对角线长是 cm .5. 已知菱形的两条对角线的长分别是6. 菱形的周长是7. 如图相交于点E,是4-29，在 ABC 中，/ BAC=90 DF丄BC于F.求证：四边形 , BD 平分/ ABC , AG 丄
