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谈五等分圆周的数学原理眉山科学技术学校陈善我摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。关键词：尺规作图 五等分圆周 加法定理在机械制图教科书12上，都介绍这样的用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）：1、作圆O2、作直径MN3、过O作MN的垂线AO交圆O于A4、作OM的中点P5、以P为圆心，PA长为半径作圆弧交直径于6、以为圆心，为半径作圆弧，交圆于，再分别以，为圆心，长为半径作圆弧，交圆O于C，D。7、边结ABCDE，多边形ABCDE是正五边形人们不禁要问：这种作法精确吗？是近似作法？还是精确作法？其数学原理是什么？设图O的半径为1，根据以上作法，则OP=，PQ=PA=，QO=PQ=，所以AQ=另外，如图2圆O的半径为1，ABCDE为圆O的内接正五边形，S是AB的中点，则，故边长。如果我们能够证明则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。下面我们推导，因为，所以。由倍角公式，有，即是下述三次方程的根。因式分解得故方程有下述三个根：，由于舍去，故方程的唯一正根是，所以，进而，由于根据作法，而已证，所以图1中的是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE是正五边形，此种作法是精确作法。参考资料：1王幼龙，机械制图，高等教育出版社，2005.7，第二版；2李玉兰，机械制图，开明出版社，2006.12，第二版。
