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1、北京市海淀区2009高三第一次模拟考试理科数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若sin20，且cos0，则角是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角2. 函数f（x）=2x+1的反函数的图象大致是3. 若向量a、b满足a+b=（2，-1），a=（1，2），则向量a与b的夹角等于 A. 45 B. 60 C. 120 D. 1354. 已知l是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真
2、命题是 A. 若l，l/，则/ B. 若，l，则l C. 若l，l，则 D. 若l，/，则l 5. 已知实数a，b，c成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立的是A. B. C. D. 6. “ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数，则下列不等式中恒成立的是A. B. C. D. 8. 对于数列，若存在常数M，使得对任意中至少有一个不小于M，则记：M，那么下列命题正确的是A. 若M，则数列的各项均大于或等于MB. 若M，M，则2MC. 若M，则M2D. 若M
3、，则2M+1第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9、在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则a=_。 10、在的展开式中，所有项的系数之和为64，则其展开式中的系数是_。（用数字作答） 11、已知A、B、C三点在球心为O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，则异面直线OA与BC所成角的大小是_，球O的表面积为_。 12、已知是数列的前n项和，若，则关于n的表达式为_。 13、已知圆A：，点P是抛物线C：上的动点，过点P作圆A的两条切线，则两切线夹角的最大值为_。 14、已知函数。那么方程在区间上的根的个数是_；对于下列命题：函数f（x）
4、是周期函数；函数f（x）既有最大值又有最小值；函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；对于任意，函数f（x）的导函数0。其中真命题的序号是_。（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15、（本小题共13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知。（I）求c的值及ABC的面积S；（II）求的值。 16、（本小题共13分）已知函数。（I）写出函数的定义域，并求其单调区间；（II）已知曲线在点处的切线是，求k的值。17、（本小题共14分） 如图，在RtABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF
5、BC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60 （I）求证：EFPB； （）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小；（）求四棱锥PEFCB体积的最大值18、（本小题共13分） 3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作 （I）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量的分布列 19、（本小题共14分）已知椭圆的左、右焦点
6、分别为、，短轴两个端点为A、B，且四边形是边长为2的正方形。（I）求椭圆的方程；（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，边结CM，交椭圆于点P。证明：为定值；（III）在（II）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 20、（本小题共13分）对于各项均为正数且各有m项的数列，按如下方法定义数列，并规定数列的“并和”为。（I）若为3，7，2，数列为5，4，6，试求出、的值以及数列的并和；（II）若m=4，数列为3，2，3，4，数列为6，1，x，y，且，求证：；（III）若m=6，下表
7、给出了数列：7931365412111810如果表格中列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的并和，试求的最小值，并说明理由。【参考答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、C2、A3、D4、C5、B6、C7、D8、D二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9、010、1511、90，12、13、6014、201，三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（本小题共13分）解：（I），由余弦定理可得2分c=34分6分（II）在ABC中，8分9分ab，11分，13分 16、（本小题共13分）解：（I）函数的定义域
8、为：1分令3分当x在上变化时，的变化情况如下表函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是。6分（II）由题意可知：，7分曲线在点处的切线的斜率为。8分切线方程为：9分10分由题意知，切线方程为，曲线在点处的切线的斜率13分 17、（本小题共14分）（I）证明：在RtABC中，EF/BC，EFAB。EFEB，EFEP。又EP=E，。2分又，EFPB。4分（II）解法一：过点P作PDEB交EB于D，连结DC。EF平面PEB，EFPD。DC是PC在平面BCFE内的射影。PCD是PC与平面BCEF所成的角。6分点E为线段AB的中点，AB=BC=4，PE=EB=2。EFEB，EFEP，PEB是二面角
9、的平面角。8分二面角PEFB的大小为60，PEB=60。在中，PD=PE，DE=PE。BD=1。在RtDBC中，。在RtPCD中，PC与平面BCFE所成角的大小为9分解法二：如图，以E为原点建立空间直角坐标系Exyz。点E为线段AB的中点，AB=BC=4，PE=EB=2EFEB，EFEP，PEB是二面角PEFB的平面角。二面角PEFB的大小为60，PEB=606分可得。则，且平面BCFE的法向量。PC与平面BCFE所成角的大小为9分（III）设，则。同（II）可求得。在等腰直角三角形AEF中，EF=AE=x，。11分设，则，由。当时，单调递增；当时，单调递减。当时，四棱锥PEFCB的体积取得最
10、大值为。14分 18、（本小题共13分）解：（I）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等。1分设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，则该事件共包括种不同的结果。所以。5分答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为。6分（II）解法1：随机变量的可能取值为0，1，2，3。7分随机变量的分布列为：0123P13分解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为。则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数。随机变量的分布列为：0123P13分 19、（本小题共14分）解：（I）如图，由题意得，所求的椭圆方程为3分（II）由（I）知
11、，。4分由题意可设，5分由整理，得，得7分8分9分（III）设。若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQDP，恒成立。10分由（II）可知12分。即恒成立。存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点。14分 20、（本小题共13分）解：（I）由数列的定义可知：，（II）证法一：由5分而，6分当；当，即时，有，则。综上所述，必有成立。9分证法二：当时，；当，可见。由，故9分（III）的最小值为51，当表格如下排列（记作排列）时可取到最小值：569137310812114110分证法一：当时，由（II）知，即，于是 将上述不等式相加得。将前4个不等式相加得。类似地，可整理得若，可见，由得；若，则，那么，故。此时由得。综上所述，总是成立的。13分证法二：对于由表格排列得到的数列，若存在（其中），则交换表格的第列与第列，得到新数列。则对原数列，有。而对新数列，有注意到 这就说明，那么。依此类推可得，则。可见，交换第列与第列后，新数列的并和不会增加。对于任何一种由表格排列得到的数列，可以通过上述有限次调整，得到排列，这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到中的位置，固定该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可。在调整的过程中，数列的并和没有增加，因此调整前的一定不小于51。由初始状态的任意性，可知的最小值就是51。13
