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1、名校精品资料数学第8讲立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A. B. C. D.解析y轴的方向向量为m(0,1,0)，设y轴与平面所成的角为，则sin |cos|，cos，sin ，.答案B2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A30 B45 C60 D90解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，1，101
2、10，A1M与DN所成的角的大小是90.答案D3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A4.过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30 B45C60 D90解析法一建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1(0,1
3、,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.法二将其补成正方体如图2，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45.答案B5在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则C1(，1,0)，A(0,0，2)，(，1，2)，平面BB1C1C的一个法向量为n(1,0,0)所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.答案C二、填空题6在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB
4、1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cos，故锐二面角的余弦值为.答案7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1
5、的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cos|.答案8已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_解析点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.当时，取得最小值.此时.答案三、解答题9(2013江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所
6、成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0.取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面A
7、BA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.10.(2014广州质检)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE，可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD为正方形，
8、ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)为平面PAC的一个法向量cos.设二面角BPCA的平面角为，由图知0，cos ，sin .tan 3，即二面角BPCA的正切值为3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点则AD与GF所成的角的余弦值为()A. BC
9、. D解析如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，(0，2,2)，(1,2，1)，|2，|，2，cos.直线AD与GF所成角的余弦值为.答案A2在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为()A.a B.a C.a D.a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又
10、ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PHa.答案B二、填空题3在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则cos，60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案30三、解答题4(2013北京卷改编)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为
11、4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在点D，使得ADA1B？若存在，试求出的值(1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解由(1)知AA1AC，AA1AB，由题意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)，由取向量n2(3,4,0)，cos .由题图可判断二面角A1BC1B1为锐角，故二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)解假设存在点D(x，y，z)是直线BC1上一点，使ADA1B，且.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)，又ADA1B，03(33)160，解得，因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.
